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Ich habe nächsten Dienstag eine Mathe prüfung und hier kommt auch unter anderem das Thema Reihen und Folgen...

kann mir das jemand verständlich erklären??

und ich hätt noch einige beispiele, die ich einfach nicht schaffe bzw. weiß ich nicht wie ich am besten vorgehe!

vielleicht kann diese jemand lösen!

Beispiel 1:

Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Ihre Summe ist 18, die Summe der reziproken Werte ist 23/30. Wie lautet die Folge?

Beispiel 2:

In einer geometrischen Folge ist di Summe der ersten drei Glieder 26. Das dritte Glied ist um 16 kleiner als das erste. Wie lautet die Folge.

Beispiel 3:

Die Summe der drei Glieder einer geometrischen Folge ist 19, ihr Produkt ist 26. Wie lautet die Folge?

Vielleicht kann mir jemand sagen, wie ich bei solchen Beispielen vorgehen muss..

danke!!!
von

2 Antworten

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Beispiel 1:

Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Ihre Summe ist 18, die Summe der reziproken Werte ist 23/30. Wie lautet die Folge?

Drei Zahlen bilden eine arithmetische Folge. Liefert den Ansatz

n, n+d, n+2d

 Ihre Summe ist 18

n + n+d + n+ 2d = 18      (I)

die Summe der reziproken Werte ist 23/30.

1/n + 1/(n+d) + 1/(n+2d) = 23/30          (II)

Hier hast du mal 2 Gleichungen.Überleg dir genau, wie ich die gemacht habe und versuche dann die beiden Unbekannten zu bestimmen.

Beispiel 2:

In einer geometrischen Folge ist die Summe der ersten drei Glieder 26. Das dritte Glied ist um 16 kleiner als das erste. Wie lautet die Folge.

In einer geometrischen Folge (Drei Glieder) Ansatz:

a, aq, aq^2

Summe der ersten drei Glieder 26

a + aq + aq^2 = 26     (I)

Das dritte Glied ist um 16 kleiner als das erste
aq^2 + 16 = a           (II)

Auch hier musst du das nachvollziehen und dann die beiden Gleichungen irgendwie auflösen.

Beispiel 3:

Die Summe der drei Glieder einer geometrischen Folge ist 19, ihr Produkt ist 26. Wie lautet die Folge?

Ansatz wie bei 3. Dann ergeben sich diese beiden Gleichungen aus dem Text:

a + aq + aq^2 = 19   (I)

a*(aq)*(aq^2) = 26  (II)

Nun wieder auflösen nach den Unbekannten.
von 145 k
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Ich mach sie ja gerne; für mich ist das quasi so'n Hobby - deshalb bin ich hier. Gleich die erste; Lu ist voll drauf rein geflogen. Ich hatte auch mal einen Chef; und der pflegte zu sagen

" Jeder taugt zu irgendetwas; und wenn's nur als abschreckendes Beispiel ist. "

Lu stellt sich die erste Bedingung so vor:


a2 := a1 + d ; a3 := a1 + 2 d     ( 1a )


Wenn du das alles jetzt addierst, kommt doch raus


a1 + a2 + a3 = 3 ( a1 + d ) = 18 ===> a1 + d = 6   ( 1b )


Dumm gelaufen; immer noch zwei verkoppelte Unbekannte in einer Bedingungsgleichung. Hier denk doch mal bissele symmetrisch und tu dich auf das mittelste Folgenglied a0 stellen. Vergleichbare Tricks habe ich schon häufig Erfolg reich eingesetzt:


a ( - 1 ) = a0 - d ; a1 = a0 + d  ( 2a )

a ( - 1 )  + a0 +  a1 = 3 a0 = 18 ===> a0 = 6   ( 2b )


Wir haben noch gar nicht richtig angefangen, und schon habe ich mein erstes Ergebnis vorzuweisen. Jetzt war aber auch noch die Summe der Wehrkerte gefragt:


1 / a ( - 1 ) + 1 / a0 + 1 / a1 = ( 3a )

= 1 / ( 6 - d )  + 1/6 + 1 / ( 6 + d ) = 23/30 | * HN   ( 3b )


Hier das war doch schon in Kl. 10 dran - diese Bruchgleichungen umformen. Kann ich das voraus setzen? Ich tu mal mit eckigen und geschweiften Klammern zusammen fassen, die du normal zwar nicht brauchtest. Die sollen dir aber zeigen, welche Terme zusammen gehören.


[ 30 ( 6 + d )  ] + { 5 ( 6 + d )  ( 6 - d )  } + [ 30 ( 6 - d )  ]  =   { 23 ( 6 + d )  ( 6 - d )  }     ( 4a )

18  ( 6 + d )  ( 6 - d ) = 360  | : 18   ( 4b )

36 - d ²  =  20  ===> d1;2 = -/+ 4   ( 4c )


Warum steht da jetzt " Plusminus " ; ist das plausibel? Ja; woher soll denn die Gleichung " wissen " , ob du die Folge in auf-oder absteigender Richtung durchläufst? Mach bitte noch die Probe, die ist gut für deine Sicherheit in Bruch Rechnung.


In Beispiel 2 werde ich dir erläutern, wie man mit ===> Polynomen hantiert und dir eine kleine kriminalistische Sensation der Mathematikgeschichte enthüllen, die ===> Umberto Eco in nichts nachsteht  - doch;  du solltest mal erleben, WIE spannend dasss Mathe sein kann. Ihr selbst nennt ja den Quotienten einer Geofolge traditionell q ; eine leicht unglückliche Wahl. Des Buchstabens q bedürfen wir unten noch bei den ganzen quadratischen Gleichungen ( QG )  Deshalb nenne ich den Quotienten ( übrigens korrekter ) x  . ( Für dich ist dieses x ja auch eine Unbekannte. ) Unsere Geofolge lautet ja


a1 ;  a2 := a1 x ; a3 := a1 x ²   ( 5a )


Die erste Bedingung an die Summe


a1 + a2 + a3 = a1 ( x ² + x + 1 ) = 26   ( 5b )

a1 - a3 = 16 ===> a1 ( x ² - 1 ) = ( - 16 )    ( 5c )


Du kennst das Additions-und das Subtraktionsverfahren; kennst du auch das Divisionsverfahren? Mittels ( 5b ) : ( 5c ) werden wir die Unbekannte a1 leicht los und werden auf eine QG in x geführt - schaffst du die ganzen Umformungsschritte alleine? Was am Ende raus kommt, lautet in ===> primitiver Form ( PF ) ( d.h. mit ganzzahligen Koeffizienten und gekürzt )


21 x ² + 8 x - 5 = 0   ( 6a )

x ² + 8/21 x - 5/21 = 0   ( 6b )


Bloß weil Schüler immer anfragen; du brauchst nur die PF ( 6a ) so wie die Normalform ( 6b ) Und jetzt kommt die angekündigte Sensation:


http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Hast du das verstanden? Ist dir das vielleicht neu? Deinem Lehrer wohl mit sicherheit. ( Immerhin soll es ja von Gauß höchstselbst stammen; deshalb auch hat dein Lehrer davon noch nie vernommen; haha. )

Ich selbst erfuhr es erst vor wenigen Jahren aus einem konkurrierenden Internetportal, dessen Namen ich nicht nennen darf, weil Dokumente, die eben diesen Namen enthalten, NICHT IN DAS NETZ GESTELLT WERDEN .

Es wird sich somit um die neuzeitliche Entdeckung, den ===> Samisdat eines anonymen Internetusers handeln.

Unmittelbar nachdem mir das bekannt wurde, erzielte ich den Durchbruch - die Entdeckung meiner eigenen pq-Formeln. Und die gehen so: Seien x1;2 rationale Nullstellen einer Gleichung, die wieder in PF gegeben sei


f ( x ) := a2 x ² + a1 x + a0 = 0    ( 7a )

x1;2 := p1;2 / q1;2  € |Q   ( 7b )

p1 p2 = a0  = ( - 5 )  ( 7c )

q1 q2 = a2 = 21   ( 7d )


In ( 7cd ) habe ich gleich die entsprechenden Koeffizienten aus ( 6a ) eingesetzt - siehst du das?

Und Gauß soll da alleine ohne meine Hilfe nicht drauf gekommen sein? Völlig abwegig.

Im Übrigen kann ich mich nicht erinnern, in den Aufzeichnungen meines Vaters bei dem berühmten Prof. ===> Walter je etwas Derartiges gelesen zu haben. Das Ganze wirkt so bissele wie die Ausreden von Fälschern, wenn man ihnen drauf kommt, dass ihre Rembrandts moderne Materialien benutzt haben.

Im Übrigen sind ( 7cd ) die beste Probe für QG , die je ersonnen wurde ( Also kann ich doch was. )

Vergiss mal die Mitternachtsformel ( MF )  das ist auch nur eine unersprießliche Knochenmühle. Wir werden uns die 4 Alternativen überlegen, die mit ( 7cd ) verträglich sind. Die 21 im Nenner hat zwei mögliche Zerlegungen: in Ganze & 21-tel oder Drittel und Siebtel. Und da 5 eine Primzahl ist, verbleiben zwei Möglichkeiten, welcher " Seite " du sie zu schlägst ( Hineichende ) Probe -überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der ===> Vieta von ( 6b ) ( Übrigens der Grund, warum ich eingangs sagte, auch die Normalform wirst du brauchen. )


| x1 | = 1/21 ; | x2 | = 5 ; | p | = 104/21     ( 8a )

| x1 | = 5/21 ; | x2 | = 1 ; | p | = 16/21     ( 8b )

| x1 | = 1/7 ; | x2 | = 5/3  ; | p | = 32/21     ( 8c )

| x1 | = 1/3 ; | x2 | = 5/7 ; | p | = 8/21     ( 8d )  ; okay


Jetzt noch das Vorzeichen richtig gedreht - fertig ist die Laube.


x1 = ( - 5/7 ) ; x2 = 1/3   ( 8e )

Für x1 hast du in ( 5c ) : a1 = 98/3 Machen wir die Probe auf ( 5b )


98/3  ( 1 - 5/7 + 25/49 ) = 98/3 - 70/3 + 50/3 = 78/3 = 26   ( 9a )


Für x2 kommt es etwas einfacher raus; a1 = 18  Wieder Probe


18 ( 1 + 1/3 + 1/9 ) = 18 + 6 + 2 ; na prima   ( 9b )


Ich fürchte die Dritte geht gar nicht auf. Wieder stellen wir uns auf das mittelste Glied wie schon einmal bei Beispiel  1)


a ( - 1 ) := a0 / x   ; a1 :=  a0  x    ( 10a )

a ( - 1 ) a0 a1 = a0 ³ = 26 ===> a0 = 26 ^ 1/3  ( 10b )


jetzt die Summenbedingung


a ( - 1 ) + a0 + a1= 19   ( 11a )

( 1/x + 1 + x ) = 19 / 26 ^ 1/3   ( 11b )

x ² + ( 1 - 19 / 26 ^ 1/3  ) x + 1 = 0  ( 11c )


( max zeichen )

von 1,3 k
Dir ist sicher klar, dass ( 1.11c ) nur mit TR und MF geht - da hab ich jertz kein Bock.
   aber mal was andreas.  In ( 1.4c ) hatten wir doch diese Plusminus-Symmetrie.
   Genau das Selbe passiert in ( 1.11c ) auch. Bei einer GEOfolge ist doch mit x auch gleichzeitig 1/x eine Lösung, weil du ja wieder nicht weißt, ob die Folge auf-oder absteigend durchlaufen wird. Und wie lautet Vieta?


     q = x1 x2 = 1  ( 2.1 )


    d.h. Absolutglied 1 hast du dann und nur dann, wenn die beiden Wurzeln invers zueinander sind.

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