Arithmetische Reihe; Anfangsglied und Anzahl der Glieder berechnen. Geg: d = 0.75, an = 7, s = 32.5

Question

ich habe eine Aufgabe zu arithmetischen Reihen.

gegeben:   d = 0,75          a_n = 7         s = 32,5

gesucht:     Anfangsglied a₁        und  Anzahl der Glieder n

 

Auf die Lösung komme ich auch, aber nur durch probieren (an der Hand abzählen) :-) und das ist ja leider nicht so elegant.

Lösung: a₁ = -2 ; n = 13

der Ansatz ist doch:

a _n   = n * d + a ₁

s _n  = (n+1) *((a ₁ +a_n)/2) 

aber wenn ich die eine Gleichung in die andere einsetze, dann kommt da meines Erachtens nach nur "Mist" raus.

Könnt ihr mir da bitte helfen?

 

Gruß Svenner

Comments

Dein Ansatz für a_n  ist falsch.

Für n=1 ergibt sich nach deiner Formel:

a₁ = 1 * d + a₁

Richtig ist: a _n   = n * d + a ₀  oder a _n   = (n-1) * d + a ₁

Answer 1

Korrigierte Version unten!

a _n   = n * d + a ₁

s _n  = (n+1) *((a ₁ +a_n)/2) 

löse die erste Gleichung nach a1 auf.

a1 = an -nd

in 2. Gleichung einsetzen.

sn = (n+1)((an -nd + an)/2)

= (n+1)((2an -nd)/2)

Wegen: d = 0,75          a_n = 7         s = 32,5

32.5 = (n+1)(2*7 - n*0.75)/2

Das kannst du nun nach n auflösen. Allerdings waren die angegebenen Formeln falsch. Korrektur im Kommentar.

Comments

Achtung: Deine Formeln stimmt nicht mit Anfangsglied a1. Für deine Formeln wäre das erste Glied a0. 

a _n   = (n-1) * d + a ₁

s _n  = (n) *((a ₁ +a_n)/2) 

löse die erste Gleichung nach a1 auf.

a1 = an -(n-1)d

in 2. Gleichung einsetzen.

sn = (n)((an -(n-1)d + an)/2)

= (n)((2an -(n-1)d)/2)

Wegen: d = 0,75          a_n = 7         s = 32,5

32.5 = n(2*7 - (n-1)*0.75)/2

Darin versteckt sich eine quadratische Gleichung.

Resultate n=13 und n=6.6666. Es interessiert nur die natürliche Lösung also n=13.

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Ja, so macht das Sinn.

Ich hatte ja vorher schon die quadratische Gleichung, aber wenn der Ansatz schon falsch ist, dann kommt man auch nicht mehr auf das Ergebnis.