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zur Zeit sitze an einer Aufgabe und komme einfach nicht weiter, weswegen ich auf Mithilfe hoffe :)

Wir sollen die Reihe

$$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \quad 3^{ n }\quad *\quad \frac { { 2 }^{ n }\quad -\quad { 4 }^{ n } }{ 13^{ n } }  } $$

auf Konvergenz bzw. Divergenz prüfen.

Da mir weder eine konvergente Majorante noch eine divergente Majorante ins Auge springt (vielleicht hab ich mich aber einfach zu viel mit der Aufgabe beschäftigt um eine zu sehen :D) habe ich es (da relativ häufig "hoch n" steht) zuerst mit dem Wurzelkriterium probiert, das dann zu

$$ \frac { 3 }{ 13 } \sqrt [ n ]{ { 4 }^{ n }-{ 2 }^{ n } } $$

führt (da ich den Betrag nehmen muss habe ich statt 2n-4n  4n-2n geschrieben, hoffe das ist korrekt). Da ich wirklich keine Möglichkeit sehe das weiter zu kürzen und ich kaum beurteilen kann wogegen das läuft (laut Wolframalpha 4, womit q=12/13 und die Reihe konvergent wäre) habe ich es nun mit dem Quotientenkriterium versucht, dabei kam ich auf

$$ \frac { 3 }{ 13 } \quad \frac { { 2 }^{ n+1 }-{ 4 }^{ n+1 } }{ { 2 }^{ n }-{ 4 }^{ n } } $$

Auch hier weiß ich selbst ehrlich gesagt nicht weiter, aber laut Wolfram Alpha konvergiert das ebenfalls gegen 4. Es (also der zweite Teil) soll sich auch zu
 

$$ \frac { 2 }{ 2n-1 } +4 $$

kürzen lassen, was ja offensichtlich gegen 4 läuft und mir helfen würde, aber wie man das kürzen soll erschließt sich mir wirklich nicht.

Ich hoffe jemand kann mir helfen, an dieser Aufgabe verzweifele ich wirklich (und wenn die Lösung trivial ist würde ich zwar mich selbst hassen aber den Helfer lieben :D)

MfG drefree

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Schätze doch beim letzten Schritt ab

$$\frac{3}{13} \sqrt[n]{4^n - 2^n} \le \frac{3}{13} \sqrt[n]{4^n} = \frac{12}{13} \rightarrow \frac{12}{13} < 1~(n \rightarrow \infty)$$

Damit ist die Reihe konvergent.
Avatar von 4,3 k
Wie ich das nur nicht sehen konnte, vielen Dank, hat mir sehr geholfen!

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