Grenzwerte von Funktionen: f(x):= IxI / x für x ≠ 0 und f(x):= 1 für x = 0. lim f(x) (x--> 0) =???

Question

ich versteh nicht genau wie ich auf die Lösung bei folgender Rechnung komme:

f(x) :=

IxI / x für x ≠ 0

1 für x = 0

lim f(x) (x--> 0)  = ???

Sei an = 1/n mit lim an = 0 (n --> unendlich) dann lim f (an) = lim (n--> unendlich) = I1/nI / 1/n = ??

bitte ausführlich erkläre!

Comments

Zeichne als Erstes mit einem Plotter den Graphen von f(x) auf:

Bsp: https://www.matheretter.de/tools/funktionsplotter/

Wie gross ist nun f(x) in der Nähe von x=0?

Der Graph ist treppenförmig und in x= 0 nicht stetig.

Wenn x von rechts gegen 0 geht, geht f(x) gegen + 1.

Wenn x von links gegen 0 geht, geht f(x) gegen - 1, was aber nicht dem Funktionswert in x=0 entspricht.

Da die beiden Werte verschieden sind, existiert der Grenzwert lim f(x) (x--> 0)  nicht.

Answer 1

Es ist \(f(1/n)=\frac{|1/n|}{1/n}=\frac{1/n}{1/n}=1=f(0)\), also auch \(\lim f(1/n)=f(0)\),

aber \(f(-1/n)=\frac{|-1/n|}{-1/n}=\frac{1/n}{-1/n}=-1\), also auch \(\lim f(-1/n)=-1\neq f(0)\).

An der Setlle \(x=0\) ist die Funktion also nicht stetig.