Differenzialgleichung: dN/dt = k [P-N(t)], wobei k eine positive Konstante ist.

Question

Hab mal eine Frage:

Let N(t) denote the number of people in a country whose homes have a telephone service. If the population size is P, a constant value, the differential equation for N(t) is then

dN/dt = k [P-N(t)],
where k is a positive constant. Find a solution of this equation if N(0) = 0. Then find the limit of N(t) as t → ∞

danke für den rechenweg mit einzelnen schritten.

Answer 1

Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:

Umgestellt:

dN/dt = k * P  - k * N(t)

Lösung ist N(t) = N_h(t) + N_p(t)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

a) Homogene DGL:

dN/dt + k * N(t) = 0

Trennen der Variablen:

dN/N(t) = - k  dt

Integrieren:

ln N(t) = -k*t + C

Daraus folgt:

 N_h(t) = C * e^-kt

Partikuläre Lösung:

Variation der Konstanten:

N (t) = C(t) * e^{- kt}   und  N ' (t) = C'(t) * e^-kt + C(t) * (-k*e^-kt)

Einsetzen in DGL: C'(t) * e^-k*t + C(t) * (-k*e^-kt) + k* C(t) * e^-kt = k*P = dC/dt*e^-kt

Trennen der Variablen: dC =k*P * e^kt dt

Integrieren:   C (t) = P * e^kt

in N(t) einsetzen: N_p(t) = P * e^kt * e^-kt = P

Allgemeine Lösung:

N(t) = c * e^-kt + P

c) c bestimmen mit N(0) = 0

Einsetzen in Lösung der DGL:

0 = c * e^-k*0 + P

Also: c = -P
 

Spezielle Lösung:

N(t) = -P * e^-k*t + P

 

N(t) für t → ∞ = -P * 0 + P = P