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Für die Gleichverteilung auf \( (0, \vartheta) \) gilt

\( F(x) = \begin{cases} 0 \text{ für } x < 0 \\ \frac{x}{\vartheta} \text{ für } 0 \leq x \leq \vartheta \\ 1 \text{ für } \vartheta < x \end{cases} \).

Die Dichtefunktion der Gleichverteilung ist

\( f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\vartheta} \text{ für } 0 \leq x \leq \vartheta \\ 0 \text{ sonst } \end{cases} \)

Die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße \( T \) ergibt sich aus

\( F_T(x) = P(T \leq x) = P(\alpha_n \min\{X_n, Y_n\} \leq x) \)

\( = 1 - P(\alpha \min\{X_n, Y_n\} > x) \)

\( = 1 - P(\alpha_n X_n > x \land \alpha_n Y_n > x) \)

\( = 1 - P(\alpha_n X_n > x)(\alpha_n Y_n > x) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - P(\alpha_n Y_n \leq x)) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - P(\alpha_n X_1 \leq x \land \dots \land \alpha_n X_{n-1} \leq x)) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - \prod_{i=1}^{n-1} P(\alpha_n X_i \leq x)) \)

\( = 1 - (1 - P(\alpha_n X_n \leq x))(1 - P(\alpha_n X_i \leq x)^{n-1}) \)

\( = 1 - \left(1 - F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)\right)\left(1 - F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)^{n-1}\right) \)

\( = F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right) + F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)^{n-1} - F\left(\frac{x}{\alpha_n}\right)^{n} \).

Die Dichtefunktion ergibt sich aus

\( f = \frac{dF}{dx} = \begin{cases} 0 \text{ für } x<0 \lor x>\vartheta\alpha_n \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\alpha_n \vartheta} + \left(\frac{x}{\alpha_n \vartheta}\right)^{n-1} - \left( \frac{x}{\alpha_n \vartheta} \right)^n \right) \text{ sonst } \end{cases} \).

Der Erwartungswert des Schätzers ergibt sich nun aus

\( \mathbb{E}[T] = \int x \frac{dF}{dx} dx \)

\( \int_{0}^{\vartheta \alpha_n}\limits \left( \frac{x}{\alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n-1}}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^n}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right) dx \)

\( = \left[ \frac{x^2}{2 \alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n}}{n \left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^{n+1}}{(n+1) \left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right]_{0}^{\vartheta \alpha_n} \)

\( = \vartheta \alpha_n \left( \frac{1}{2} + \frac{n-1}{n} - \frac{n}{n+1} \right) \)

\( = \vartheta \alpha_n \left( \frac{(n-1)(n+2)}{2n(n+1)} \right) \).

Das zweite Moment des Schätzers berechnet sich ähnlich

\( \mathbb{E}[T^2] = \int x^2 \frac{dF}{dx} dx \)

\( \int_{0}^{\vartheta \alpha_n}\limits \left( \frac{x^2}{\alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n}}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^{n+1}}{\left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right) dx \)

\( = \left[ \frac{x^3}{3 \alpha_n \vartheta} + \frac{(n-1)x^{n+2}}{(n+1) \left( \alpha_n \vartheta \right)^{n-1}} - \frac{n x^{n+2}}{(n+2) \left( \alpha_n \vartheta \right)^n} \right]_{0}^{\vartheta \alpha_n} \)

\( = (\vartheta \alpha_n)^2 \left( \frac{1}{3} + \frac{n-1}{n+1} - \frac{n}{n+2} \right) \)

\( = (\vartheta \alpha_n)^2 \left( \frac{(n-1)(n+4)}{3(n+1)(n+2)} \right) \).

Die Varianz des Schätzer ist

\( \mathbb{V}[T] = \mathbb{E}[T^2] - \mathbb{E}[T]^2 \)

\( = (\vartheta \alpha_n)^2 \left( \frac{(n-1)(n+4)}{3(n+1)(n+2)} -  \left( \frac{(n-1)(n+2)}{2n(n+1)} \right)^2 \right) \)

Die Vereinfachung überlasse ich dem geneigten Leser.

Der MSE ergibt sich aus

\( MSE = \mathbb{E}[(T - \vartheta)^2] \)

oder alternativ aus

\( MSE(T) = b(T)^2 + \mathbb{V}[T] \),

wobei \( b(T) = \mathbb{E}[T] - \vartheta \) der Bias des Schätzers ist.

Damit der Schätzer erwartungstreu ist, muss \( \mathbb{E}[T] = \vartheta \) gelten. Dies ist der Fall, wenn \( \alpha_n = \frac{2n(n+1)}{(n-1)(n+2)} \) gewählt wird.

Viele Grüße

Mister

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