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Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Basis von Kern und Bild der linearer Abbildung
$$ f: \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \rightarrow \mathbb{R}[x]_{\leq 3}, \quad p(x) \mapsto p^{\prime}(x)-p(0) $$
Dabei ist \( \mathbb{R}[x]_{\leq 3} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich drei.

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Ist es hier üblich das komplette Übungsblatt per Copy&Paste reinzustellen? Machst du das mit der Klausur dann genauso?
Man könnte das Bild ja erstmal allgemein hinschreiben

$$p(x) = (a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0)' - a_0 = 3a_3x^2 + 2a_2x + (a_1 - a_0)$$

Dafür nun eine Basis suchen.

Für den Kern ergibt sich dann eben eine quadratische Gleichung,

$$3a_3x^2 + 2a_2x + (a_1 - a_0) = 0$$

deren Lösungsmenge du aufstellen und für diese eine Basis bestimmen musst.
@Thilo87: Die Lösungsmenge der quadratische Gleichung hat mit der Aufgabe gar nichts zu tun. Das Polynom links soll das Nullpolynom sein, das ist die Bedingung. (Und der Kern ja auch eindimensional)
In anbetracht der Tatsache, das die Übung/Vorlesung nichts bringt, muss man halt auf das gute alte Internet zurückgreifen...

1 Antwort

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es gilt

\( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\),

\( p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \),

\( p(0) = d \).

\( p'(x) - p(0) = 3ax^2 + 2bx + (c - d) \).

Du siehst hier, dass der Kern sich aus allen \( (a, b, c, d) \) zusammensetzt, die \( a = 0 \), \( b = 0\) und \( c = d \) erfüllen.

Das Bild wiederum besteht aus allen \( (a, b, c, d) \), für die \( a = 0 \) ist.

Das Bild ist folglich unschwer erkennbar dreidimensional, während der Kern eindimensional ist. Erwartungsgemäß ergibt die Summe aus Bild- und Kerndimension einer linearen Abbildung auf einem vierdimensionalen Vektorraum die Zahl vier.

MfG

Mister
Avatar von 8,9 k

Wahnsinn so eine verständliche erklärung ist selten zu finden. Viiieeelllleeen Dank auch von mir.

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