Ungleichung mit wurzeln in Vollständiger Induktion

Question

Ich habe hier die Frage "Die Folge a_n sei durch a₁=√5 und a_n+1=√5+a_n für n≥1 definiert

i)Zeigen sie, dass a_n monoton wachsend und nach oben beschränkt ist

ii)Bestimmen sie den Grenzwert

Ich häng noch bei der i) fest, ich komm da einfach nicht dahinter.
Ich hab hier auch die "Lösung" des Beweis aber da scheinen die Zwischenschrite zu fehlen, kann mir da jemand helfen?

 

Wie das mit den Wurzeln geht im Beweis, verstehe ich leider überhaupt nicht

Comments

\( 0 < \sqrt{5} \) und \[\sqrt{8}

Answer 1

Wir nehmen mal an es gilt:

0 < a(n) < s

für n = 1 

0 < √5 < s

ist doch sicher erfüllt.

 

Nun wollen wir zeigen das es für n+1 gilt wenn es für n gilt:

0 < a(n+1) < s

0 < √(5 + a(n)) < s

0 < 5 + a(n) < s^2

0 < a(n) < s^2 - 5

Damit sich jetzt neue und alte Grenze nicht unterscheiden sollte gelten

s = s^2 - 5
s^2 - s - 5 = 0
s = 2.791287847

Damit wüsste ich jetzt sogar schon wie die obere Schranke aussehen sollte.