Beweis: Ungleichung mit vollständiger Induktion

Question

Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: 6ⁿ + n ≤ 7ⁿ  n∈ℕ

Problem/Ansatz: Den Induktionsanfang, die Voraussetzung und den Schritt habe ich getan und geprüft, allerdings komme ich bei meinem Beweis nicht weiter. Ich weiß nicht genau, wie ich bei Ungleichungen vorgehen soll.Angefangen habe ich mit der Abspaltung der Potenzen: 6ⁿ · 6¹ + (n+1) ≤ 7ⁿ · 7¹

^{Und ab dem Zeitpunkt weiß ich nicht genau wie ich fortfahren soll.}

Answer 1

Hallo Julius,

mit vollständiger Induktion geht das so: zu zeigen ist$$6^{n} + n \le 7^{n} \quad n \in \mathbb N$$Induktionsanfang:$$6^1 + 1 \le 7^1 \space \checkmark$$Ist ok, dann der Schritt von \(n\) nach \(n+1\)$$\begin{aligned} 6^{n+1} + n+1 &= 6 \cdot 6^n + n +1 \\ &= 7 \cdot 6^n - 6^n + 7n - 6n + 1 \\ &= 7 \cdot (6^n +n) - \underbrace{(6^n + 6n - 1)}_{\gt 0} \\ &\le 7 \cdot (6^n +n) \\ &\le 7 \cdot 7^{n} = 7^{n+1} \\&\text{q.e.d.} \end{aligned}$$

Comments

Erst einmal vielen Dank für die zahlreichen Antworten!

Also muss man manche Terme abschätzen, um solche Ungleichungen beweisen zu können?

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.. Na ja, es geht i.A. darum, den 'Zielterm' in dem Ausdruck, bei dem \(n\) zu \(n+1\) wird, wieder zu finden. Du hast$$6 \cdot 6^n + n +1$$ und suchst darin $$6^n + n$$und das idealerweise so, dass in diesem Fall der Term mit Faktor \(7\) zu multiplizieren ist.

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Okay, vielen Dank für die schnelle Hilfe.

Answer 2

Vorschlag: 7ⁿ⁺¹ - 6ⁿ⁺¹ = 7·7ⁿ - 6·6ⁿ ≥ 6·7ⁿ - 6·6ⁿ = 6·(7ⁿ - 6ⁿ) ≥ 6·n ≥ n+1.

Answer 3

Aloha :)

Behauptung:\(\quad 6^n+n\le 7^n\quad;\quad n\in\mathbb N\)

Verankerung bei \(n=1\):$$6^n+n=6^1+1=7=7^1\le 7^n$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$7^{n+1}=7\cdot7^n>6\cdot 7^n\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{\ge}6\cdot(6^n+n)=6^{n+1}+6n\ge6^{n+1}+(n+1)$$