Es sei ein Vektorraumhomomorphismus...

Question

$$ Es\quad sei\quad \phi :\quad V\longrightarrow W\quad ein\quad Vektorraumhomomorphismus\quad und\quad { b }_{ 1 },...,b_{ n }\quad eine\quad Basis\quad von\quad V.\quad Zeigen\quad Sie:\quad \phi \quad ist\quad genau\quad dann\quad injektiv,\quad wenn\quad \phi ({ b }_{ 1 }),...,\phi ({ b }_{ n })\in W\quad linear\quad unabhängig\quad sind. $$

Comments

Solche Beweise sind oft ein "Zusammenflicken" von Sätzen, die ihr in den Vorlesungen hattet und bewiesen habt. Guck dir die letzten Sätze zum Thema Injektivität von linearen Abbildungen und linear unabhängigen Vektoren mal an.

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Diese Aufgabe hat nur indirekt mit den Themen zu tun die wir in den Vorlesungen hatten. Und die ist sogar die schwierigste Aufgabe dieser Woche :(.

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Man braucht hier überhaupt keine Sätze, beide Richtungen lassen sich nur mit Hilfe der Def. lin. unabh. und injektiv mittels weniger Zeilen zeigen. Da ist die vierte Aufgabe schwieriger.

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Dass ist gut zu wissen. Ich habe mich schon gefragt wann sich der LA-Genie fa77 melden wird.

Also muss ich nur zwei Vektoren zeigen, die linear unabhängig sind und dann zeigen, dass sie Injektiv sind?

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Nein. Abbildungen können injektiv sein oder nicht. Nicht jeder Vektor ist eine Abb.. Daher kann ein allgemeiner Vektor nie injektiv sein. Bei der Hinrichtung ist zu zeigen, dass die n Vektoren links lin. unabh. sind. Bei der Rückrichtung, dass f injektiv ist.

Answer 1

sei \( \phi \) injektiv. Wären die \( \phi(b_i) \) nicht linear unabhängig, das heißt es gäbe \( \lambda_i \neq 0 \) mit

\( \sum_{i} \lambda_i \phi(b_i) = 0 \),

dann wäre

\( \phi\left( \sum_{i} \lambda_i b_i \right) = 0 \).

Da mindestens ein \( \lambda_i \neq 0 \) existiert, ist wegen der linearen Unabhängigkeit der \( b_i \) in V auch

\( \sum_{i} \lambda_i b_i \ \neq 0 \).

Das heißt, der Kern von \( \phi \) enthält ein nicht triviales Element und \( \phi \) kann kein injektiver Homomorphismus mehr sein. Also müssen die \( \phi(b_i) \) linear unabhängig sein.

Seien umgekehrt die \( \phi(b_i) \) linear unabhängig. Dann folgt aus

\( \sum_{i} \lambda_i \phi(b_i) = 0 \),

dass die \( \lambda_i = 0 \) sind. Das heißt, wegen

\( 0 = \sum_{i} \lambda_i \phi(b_i) = \phi\left( \sum_{i} \lambda_i b_i \right) = \phi(0) \)

enthält der Kern von \( \phi \) nur die Null. Das aber heißt, dass \( \phi \) injektiv ist.

MfG

Mister