Vektorraumhomomorphismus beweisen (x,y,z)^a := (0,y+z,2x-z,0)

Question

 

Könnt ihr mir bitte helfen? Danke

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f : R 3 → R 4 mit f((x, y,z)) = (0, y+z, 2x-z, 0))

Für alle (x, y, z),(u, v, w) ∈ R3 gilt:

f((x, y, z) + (u, v, w)) = f((x + u, y + v, z + w)) = (0 +0, y + v + z + w, 2x + 2u - z - w, 0 + 0) 

=  (0, y+z, 2x-z, 0) + (0, v+w, 2u-w, 0) = f((x, y, z)) + f((u, v, w)) 

und für alle (x, y, z) ∈ R 3 und alle λ ∈ R gilt:

f(λ(x, y, z)) = f((λx, λy, λz)) = (λ0, λy + λz, λ2x + λ(-z),  λ0) = λ(0, y+z, 2x-z, 0)= λf((x, y, z))

Answer 1

α(x,y,z) = ( 0 ; y+z ; 2x - z ; 0 )

(x,y,z) im Kern, wenn 

y+z=0   und  2x-z = 0

z = - y   und   z = 2x 


also -y = 2x  bzw    y = -2x  .

Also sind im Kern solche:

(  x  ;   -2x  ;  2x )   =   x* ( 1 ; -2 ; 2 )  also ist  ( 1 ;  -2  ; 2  ) eine Basis des Kerns.

Damit muss das Bild die Dimension 2 haben .

( 0 ; y+z ; 2x - z ; 0 )      nimmt offenbar alle Werte  ( 0 , s ; t ; 0 )  an, also bilden

( 0 ; 1 ; 0 , 0 ) und ( 0; 0 ; 1 ; 0 )  eine Basis des Bildes.