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$$\text {Ich soll eine Abbildungsmatrix für einen Vektorraumhomomorphismus aufstellen.} \\ \text{Dieser ist so definiert: } \varphi : R^{2x2} \rightarrow R^{2x2}, X \rightarrow XA-A^{tr}X^{tr} \text{ mit } A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\\ \text{Die Abbildungsmatrix } M_{B}(\varphi) \text{ mit B Standardbasis bestimme ich so} \\ \text{1.Alle Elemente der Basis B abbilden und dann daraus die Abbildungsmatrix aufstellen .} \\ \varphi(e1) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \varphi(e2) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \varphi(e3) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ \varphi(e4) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \\ \text{Laut VL sollte man jetzt schauen wie man die Bilder durch die Basis Elemente darstellen kann.} \\ \text{Das sollte so gehen: } \\ \varphi(e1) = 0e_1-e_2+e_3+0e_4 \\ \varphi(e2) = 0e_1+e_2-e_3+0e_4 \\ \varphi(e3) = 0e_1-e_2+e_3+0e_4 \\ \varphi(e4) = 0e_1+e_2-e_3+0e_4 \\ \text{Diese soll man dann Spaltenweise untereinander schreiben } \\ M_B= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \\ \text{Offensichtlich ist dies falsch, aber wie geht es richtig ?}$$

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Du hast nur die 3. und 4. Spalte vergessen. Da muss noch hin

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