Ganzrationale Funktion 3. Grades Differentialrechnung

Question

Ich habe hier in meinem Buch eine Aufgabe die da lautet: "Der Wendepunkt des Graphen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist W(1/2|0). Die Nullstellen sind x = -1 und x = 2. Die Ordinatenachse wird im Punkt P₁(0|2) geschnitten. Erstellen sie die Funktionsgleichung"

Daran habe ich mich nun versucht.

Was dabei herauskam ist: f(x) = 2

Diese 2 habe ich aus d errechnet. Dies habe ich herausbekommen, als ich den Punkt P₁ einsetzte.

Für die Nullstellen habe ich das gleiche gemacht..Ist das richtig? Also die Nullstellen als normale Punkte zu behandeln und einfach in die normale funktionsgleichung einzusetzen? Ausserdem habe ich hier direkt angegeben, dass d=2 ist.

Für den Wendepunkt habe ich die 2.Ableitung denommen und diese 0gesetzt und dazu x=1/2 eingesetzt.

Nach dem Gauß Algorithmus habe ich nun überall 0 als Ergebnis also für a,b,c. Ausser d, welche ich wegen dem schon vorher herausgekommenen Ergebnis D=2 nicht mehr im Algorithmus benutzt habe.

Liebe Grüße und !

Answer 1

Du musst Funktionalbedingungen aufstellen. Das heißt das, was du gegeben hast in die Funktionen einsetzen.

Der Ansatz ist f(x)=ax³+bx²+cx+d

Auf Grund des Wendepunktes kannst du zwei Sachen herausarbeiten:

f(1/2)=0 Damit reagierst du auf den Punkt

und F''(1/2)=0 Das ist die notwendige Bedingung für den Wendepunkt

Aus den Nullstellen kannst du ablesen, dass

f(-1)=0 weil keine Steigung in y-Richtung vorliegt und

f(2)=0

 

Jetzt setzt du das alles in Funktionen ein. Dafür brauchst du die ersten zwei Ableitungen. Danach setzt du z.B. 1/2 für x in deine Originalfunktion ein und setzt diese gleich 0. 

Verstanden soweit?