Interpolieren via kubische Splinefunktion

Question

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4. Gegeben sind folgende Stützpunkte und Angaben zu Ableitungen:
a) Interpolieren Sie bitte mit einer kubischen Splinefunktion \( S \).

\begin{tabular}{|r|rrr|}
\hline\( i \) & \( x_{i} \) & \( f_{i} \) & \( f_{i}^{\prime} \) \\
\hline 0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 2 & - \\
2 & 1 & 4 & 0 \\
\hline
\end{tabular}

Hinweis: der Ansatz
\( S_{0}(x)=\alpha_{2}(x+1)^{2}+\alpha_{3}(x+1)^{3}, \quad S_{1}(x)=1+\beta_{2}(x-1)^{2}+\beta_{3}(x-1)^{3} \)
hilft, sodann \( \alpha_{3} \) und \( \beta_{3} \) aus den Gleichungen \( S_{i}(0)=2 \) eliminieren.
b) Ist das Ergebnis aus a) ein Polynom? Stimmen also \( S_{1} \) und \( S_{2} \) überein?

Könnte mir bei dieser Aufgabe jemand helfen, ich komm bei a) nicht wirklich weiter, auch mit dem Hinweis

Answer 1

Achtung. Der Hinweis entält einen Tippfehler. Damit S1(x) durch den Punkt (1 | 4) geht muss die konstante in der Funktionsgleichung 4 und nicht 1 sein.

S1(x) = 4 + β2·(x - 1)^2 + β3·(x - 1)^3

Jetzt kannst du die Bedingungen aufstellen die gelten müssen.

S0(0) = 2
S1(0) = 2

S0'(0) = S1'(0)
S0''(0) = S1''(0)

S0'(-1) = 0 → Ist aufgrund des Ansatzes immer erfüllt.
S1'(1) = 0 --> Ist aufgrund des Ansatzes immer erfüllt.

Ich komme damit auf die Polynome

S0(x) = 3·(x + 1)^2 - (x + 1)^3 = - x^3 + 3·x + 2
S1(x) = 4 - 3·(x - 1)^2 - (x - 1)^3 = - x^3 + 3·x + 2

Und damit ist das Ergebnis aus a) ein Polynom.