Wie hoch steht der Saft im Glas?

Question

Ein kelchförmiges Glas hat die Gestalt eines Kegels mit dem Durchmesser 6,6cm und der Höhe 9,7cm. Nora hat es randvoll mit Tomatensaft gefüllt und trinkt jetzt vom Saft. Das Glas kann dabei auf verschiedene Weisen noch "halb voll" sein. Untersuche dazu folgende Frage:

Wie hoch steht der Saft im Glas, wenn der halbe Rauminhalt des Glases gefüllt ist?


Wer hat eine Idee?

Im voraus schon vielen Dank!

Sophie

Answer 1

Nun, das Volumen V eines Kegels mit dem Grundflächenradius r und der Höhe h ist:

V ( r , h ) = ( 1 / 3 ) * π * r ² * h

Der Zusammenhang zwischen r und h bei einem Kegel ist:

h = m * r

wobei m eine Konstante ist, nämlich die Steigung der Mantellinie des Kegels.

Auflösen nach r:

r = h / m

und Einsetzen in die Volumensformel ergibt:

V ( h ) = ( 1 / 3 ) * π * h ³ / m ²

 

Für das gegebene h ist nun also ein h_q so zu bestimmen, dass gilt:

V ( h ) = 2 * V ( h_q )

<=> ( 1 / 3 ) * π * h ³ / m ² = 2 * ( 1 / 3 ) * π * h_q ³ / m ²

Fast alles kürzt sich heraus. Es verbleibt:

<=> h ³ = 2 h_q³

<=> h_q³ = h³ / 2 

<=> h_q = ³ √  ( h³ / 2 )

<=> h_q = h * ³ √  ( 1 / 2 ) ≈ 0,7937 * h

 

Mit h = 9,7 ergibt sich somit:

h_q = 0,7937 * 9,7 ≈ 7,7 cm

Also: Wenn ein kegelförmiges Glas mit der Höhe h = 9,7 cm nur noch die Hälfte seines gesamten Rauminhaltes enthält, dann steht die Flüssigkeit in diesem Glas 7,7 cm hoch.

 

Beachte:

Wie die Berechnung gezeigt hat, sind der Radius des Glases und die Steigung seiner Mantellinie für die Bestimmung von h_q unerheblich! Es kommt ausschließlich auf die Höhe des Glases an!

Jedes kegelförmige Glas der Höhe h ist daher genau dann noch halbvoll, wenn der Flüssigkeitsspiegel in der Höhe

h_q = 0,7937 * h

steht.