Die b-adische Entwicklung
$$ x=\sum _{ k=1 }^{ \infty }{ \frac { { a }_{ k } }{ { b }^{ k } } } ,{ a }_{ k }\in \left\{ 0,...,b-1 \right\} $$
einer reellen Zahl x ∈ [0,1] heißt periodisch, falls k0 ∈ ℕ und l ∈ ℕ existieren, so dass für alle k ≥ k0 gilt ak+l = ak. Zeigen Sie, dass in diesem Fall x rational ist.
Anleitung: Man soll mit Hilfe der geometrischen Reihe folgende Darstellung zeigen:
$$ x=\sum _{ k=1 }^{ { k }_{ 0 }-1 }{ \frac { { a }_{ k } }{ { b }^{ k } } } +\frac { { b }^{ l } }{ { b }^{ l }-1 } \sum _{ k={ k }_{ 0 } }^{ { k }_{ 0 }+l-1 }{ \frac { { a }_{ k } }{ { b }^{ k } } }. $$
