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Hallo zusammen,

ich habe da mal eine kleine Frage, ich glaub das ist gar nicht so schwer, aber ich steh gerade etwas auf dem schlauch :(

Ich hab folgende Aufgabe, vielleicht kann mir ja jemand helfen, vielen lieben Dank schonmal für die Mühe.

a) Stelle die Zahl 153 in der 5-adischen und 2-adischen (dualen) Darstellung dar.

b) Stelle 1/10 dual dar.

c) Beweise die Eindeutigkeit der b-adischen Darstellung der natürlichen Zahl.

Danke und einen schönen Abend noch.
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a) 15310 = 11035, denn 153 = 1*53 + 1*52 + 0*51+3*50

15310 = 100110012, denn 153 = 1*27 + 1*24+1*23+1*20 = 128+16+8+1

b) Die duale Darstellung von Brüchen funktioniert mit den negativen Potenzen von 1/2, also 0.12=1/2, 0.012 = 1/4, 0.112 = 3/4, usw.

Ich möchte die Herleitung mal anschaulich machen, weil sie nicht soo einfach ist:

1/2, 1/4 und 1/8 sind allesamt größer als 1/10, können also nicht in der Zahl vorkommen. Sie beginnt also schonmal mit 0,000...

Danach kommt 1/16, das ist kleiner als 1/10 also auf jeden Fall dabei. Berechnen wir die Differenz, damit wir wissen, was noch fehlt:

1/10 - 1/16 = (16-10)/160 = 6/160 = 3/80

1/32 ist bereits kleiner als 3/80, denn 1/32=3/96, also kommt auch an die fünfte Stelle eine 1. Uns fehlt noch:

3/80 - 3/96 = 1/160

1/64 und 1/128 sind offenbar größer, also wieder zwei 0en, wir sind inzwischen bei

0,0001100...

das nächste ist 1/256, das passt wieder rein, die Differenz ist noch

1/160 - 1/256 = 3/1280

1/512 passt offenbar rein, denn 1/512=3/1536, es bleibt:

3/1280-1/512 = 1/2560

Jetzt passen wieder zwei nicht rein und ich vermute, dass sich das von da an wiederholt - einen Beweis habe ich nicht, vielleicht findest du dazu etwas in deinen Unterlagen?

Ich vermute also:

1/10 = 0.000110011001100...2

c) Die Eindeutigkeit folgt aus der Konstruktionsvorschrift:

Sei n eine natürliche Zahl dann erhält man die k-te Stelle (von rechts) der b-adischen Darstellung gemäß

xk = nk % b,

nk+1 = (nk-xk)/b

Als Beispiel: Wir suchen 72 zur Basis 3:

x0 = 72 % 3 = 0, denn 72=3*24
n1 = 72/3 = 24

x1 = 24%3 = 0, denn 24 = 3*8
n2 = 24/3 = 8

x2 = 8%3 = 2, denn 8 = 2*3+2
n3 = (8-2)/3 = 2
 

x3 = 2%3 = 2, denn 2 = 0*3+2
n4 = 0

Und nun würden nur noch 0en folgen. Damit ist die Darstellung von 72 zur Basis 3:

x3x2x1x0 = 2200

Da es bei dieser Ableitung keine mehrdeutigen Schritte gibt, ist die Darstellung bei beliebiger Basis eindeutig.

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