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ich versuche jetzt schon seit einer Weile herauszufinden, weshalb man bei der Funktion f(x) = (x2-2x-3)/(x2-2x+1) als Ableitung f'(x) = 8/((x-1)3) erhält (laut bereits vorhandenem Ergebnis in meinem Skriptum). Ich aber komme auf (8x-8)/(x4-4x3+6x2-4x+1). Kann mir bitte irgendjemand erklären was ich falsch mache? Bzw. wie ich noch weiter vereinfachen kann damit ich das richtige Ergebnis erhalte? Vielen vielen Dank schon mal!

von

Versuch's mal mit einer Polynomdivision:

(x4-4x3+6x2-4x+1) : (x-1) = 

Dann kannst du im Zähler 8 ausklammern und dann voraussichtlich (x-1) kürzen.

 

hab diese Polynomdivision gemacht und hab dann als Ergebnis x3 - 3x2 + 3x - 1 herausbekommen. 

Wenn ich im Zähler 8 herausklammere habe ich also im Zähler 8(x-1) stehen. Aber wie kann ich in dem Fall (x-1) kürzen, wie kann ich den Nenner noch entsprechend umformen? Danke

Entweder du erkennst die Koeffizienten aus 1 3 3 1 aus dem Pascaldreieck und weisst gerade, dass x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x-1)^3 ist. Oder du versuchst weiter zu faktorisieren.

Da x=1 eine Nullstelle ist, kannst du nochmals durch (x-1) dividieren.

(x3 - 3x2 + 3x - 1 ):((x-1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2

==> x3 - 3x2 + 3x - 1 = (x-1)*(x-1)^2 = (x-1)^3.

Alternative (x-1)^3 ausmultiplizieren und schauen, ob dasselbe rauskommt.

Besser ist natürlich, wenn du von Anfang an den Nenner gar nicht ausmultiplizierst und versuchst im Zähler den Faktor (x-1) zu finden, ähnlich wie Brucybabe das vorgemacht hat.

2 Antworten

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Beste Antwort

 

f(x) = (x2 - 2x - 3) / (x2 - 2x + 1)

 

Quotientenregel (u/v)' = (u'v - uv')/v2

u = (x2 - 2x - 3)

u' = (2x - 2)

v = (x2 - 2x + 1)

v' = (2x - 2)

v2 = ((x - 1)2)2 = (x - 1)4

 

f'(x) = [(2x - 2) * (x - 1)2 - (x2 - 2x - 3) * (2x - 2)] / (x - 1)4 =

2 * [(x - 1) * (x - 1)2 - (x2 - 2x - 3) * (x - 1)] / (x - 1)4 =

2 * [(x - 1)2 - (x2 - 2x - 3)] / (x - 1)3 =

2 * (x2 - 2x + 1 - x2 + 2x + 3) / (x - 1)3 =

2 * (4) / (x - 1)3 =

8 / (x - 1)3

 

Besten Gruß

von 32 k
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f ( x ) = ( x2 - 2x -3 ) / ( x2 - 2x +1 )
zur Vereinfachung Polynomdivision

x^2 - 2 x - 3 : x^2 - 2x + 1 = 1 - 4 / ( x^2 - 2x + 1)
x^2 -2x + 1
--------------
               -4

x^2 - 2x + 1 = ( x -1 )^2

f ( x ) = 1 - 4 / ( x-1)^2
f ´( x ) = 4 * 2 * ( x - 1 )  / ( x - 1 )^4
f ´( x ) = 8 / ( x -1 )^3

Es gibt natürlich noch andere Möglichkeiten
der Berechnung.

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mfg Georg
 

von 114 k 🚀

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