Wahrscheinlichkeitsaufgabe über Grippeimpfungen:
Eine Grippewelle kündigt sich an. Ohne Impfung erkrankt man mit einer Wahrscheinlichkeit von \( 5 \% \). Durch eine Impfung lässt sich das Erkrankungsrisiko auf \( 0,2 \% \) reduzieren. \( 10 \% \) der Bevölkerung sind gegen den Grippe-Erreger geimpft.
(a) Welcher Anteil der Erkrankten ist vermutlich geimpft?
(b) Welcher Anteil der Gesunden ist vermutlich nicht geimpft?
Meine Lösungen:
Bei dieser Aufgabe wird man die Bayes-Formel benötigen.
\( P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A)^{*} P(A)}{P(B)} \)
\( P(G)=0,10 \Rightarrow P(N G)=0,90 \)
\( P\left(A_{K} \mid G\right)=0,048 \)
\( P\left(A_{G} \mid N G\right)=0,05 \)
\( P\left(A_{K} \mid G\right)=\frac{P\left(G \mid A_{K}\right) * P\left(A_{K}\right)}{P(G)} \)
\( P\left(A_{K} \mid G\right)=\frac{P\left(G \mid A_{K}\right) * P\left(A_{K}\right)}{P\left(G \mid A_{K}\right) * P\left(A_{K}\right)+P\left(A_{G} \mid N G\right)^{*} P(N G)} \)
\( P\left(A_{K} \mid G\right)=\frac{0,048 * 0,10}{0,048^{*} 0,10+0,05^{*} 0,90}=0,0963 \approx 9,63 \% \)
\( P\left(A_{G} \mid N G\right)=\frac{0,052 * 0,90}{0,052 * 0,90+0,048^{*} 0,10}=0,9069 \approx 90,69 \% \)
