Berechne die Grenzwerte mit Regel von l`Hospital: Limes (sin(x)/x); x/(e^x-1) und ln(x)/x

Question

Berechnen Sie folgende Grenzwerte mit der Regel von l`Hospital:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { x } $$

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { e ^ { x } - 1 } $$

$$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \ln x } { x } $$

Answer 1

$$ \lim _{ x->0 }{ \frac { sin\quad x }{ x }  } =(Hospital\quad 0/0)\\ =\lim _{ x->0 }{ \frac { cos\quad x }{ 1 }  } \quad =\quad \frac { 1 }{ 1 } =1 $$

$$ \lim _{ x->0 }{ \frac { x }{ { e }^{ x }-1 }  } =(Hospital\quad 0/0)\\ =\lim _{ x->0 }{ \frac { 1 }{ { e }^{ x } }  } \quad =\quad \frac { 1 }{ 1 } =1 $$

$$ \lim _{ x->\infty  }{ \frac { ln\quad x }{ x }  } =(Hospital\quad \infty /\infty )\\ =\lim _{ x->\infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ x }  }{ 1 }  } \quad =\quad \frac { 0 }{ 1 } =0 $$