+2 Daumen
1,9k Aufrufe

Hallo zusammen,

Bitte hilft mir um diese Aufgabe zu lösen: (Definition unten!)

 

Zeigen Sie, ob die angegebene Funktion ƒ differenzierbar  im Punkt x0 bzw. in D ist.

a) ƒ: ℝ → ℝ, x → 0, x=0

b) ƒ: ℝ -→ ℝ, x → 1 / |x|, D = ℝ-

c)

c

d)

d

Danke!

 

Anmerkung: Definitionen von hier https://www.mathelounge.de/13411/zeigen-b-die-funktion-im-punkt-xo-differenzierbar-ist

 

Im Folgenden ist D stets eine nichtleereTeilMenge von ℝ  ohne isolierte Punkte. 


Definition:Ist f : D→  
ℝ  eine Funktion und x0 ∈  D,  so heisst differenzierbar 
in x0 ,wenn
 
 

 



existiert,
ƒ heisst differenzierbar, wenn ƒ in jedem x  D differenzierbar ist. 

Ist 
ƒ differenzierbar, so heisst 

ƒ':  D→ ℝ  ,x→fʹ(x) 

Ableitung von 
ƒ

 

 

Gefragt von
Was ist xo bei a)?
R* = R ohne 0?

Bei a) x0 = 0     (Habe ich vergessen sorry)

 

Außerdem ist es nicht R hoch Multiplikation sondern R hoch minus:

R^-

 

Danke für die Warnung !;)

Habt ihr keinen Lösungsweg ?
Schau in dieser Zeit schon mal die ähnlichen Fragen an. zB. https://www.mathelounge.de/11636/ist-der-nahtstelle-stetig-oder-differenzierbar-bsp-fur-fur

Nur c) ist hier nicht differenzierbar in xo.

1 Antwort

0 Daumen

a)

f(x) = 0
f '(x) = 0
Damit ist f in ganz R differenzierbar 

b)

f(x) = 1/|x|
für x € R- kann man schreiben
f(x) = -1/x
f '(x) = 1/x^2
Damit ist f in ganz R- differenzierbar, weil 0 ja nicht zu R- gehört.

c) 

f1(x) = √x für x ≥ 0
f1'(x) = 
1/(2√x)

f2(x) = x für x < 0
f2'(x) = 1

An der Stelle 0 müsste der rechtsseitige Steigung gleich der Linksseitigen Steigung sein. Linksseitige Steigung ist 1. Rechtsseitige Steigung ist allerdings unendlich. Damit ist die Funktion an der Stelle Null nicht differenzierbar.

d)

f1(x) = x^2 für x ≥ 0
f1'(x) = 2x

f2(x) = 0 für x < 0
f2'(x) = 0

An der Stelle 0 müsste der rechtsseitige Steigung gleich der Linksseitigen Steigung sein. Linksseitige Steigung ist 0. Rechtsseitige Steigung ist auch 0. Damit ist die Funktion an der Stelle Null differenzierbar.

Ich habe mir erlaubt den Differenzialquotienten direkt durch die Ableitungsfunktion zu ersetzen.

Beantwortet von 260 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...