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Bestimme alle Homomorphismen  von Z/14Z nach Z/16Z und jeweils Bild und Kern.

Was muss ich hier genau machen?
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Sei \(Z_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) und \(f:Z_{14}\rightarrow Z_{16}\)

ein Gruppenhomomorphismus.

Dieser kann nicht injektiv sein, sonst wäre \(14=|f(Z_{14})|\) ein Teiler von \(16=|Z_{16}|\).

Da \(Kern(f)\) eine Untergruppe von \(Z_{14}\) ist, muss \(|Kern(f)|\)ein Teiler von \(14\) sein, also

\(|Kern(f)|\in\{2,7,14\}\).

Wäre \(|Kern(f)|=2\), dann wäre

\(|Bild(f)|=|Z_{14}/Kern(f)|=14/2=7\), was aber nicht geht,

da \(7\) kein Teiler von \(16=|Z_{16}|\) ist.

Es bleiben also nur 2 Möglichkeiten:

1. \(\quad f_1(x)=0\) für alle \(x\in Z_{14}\)  und

2. \(\quad f_2(x)=0\) für \(x \in \{0,2,4,6,8,10,12\}\),

\(\quad \quad f_2(x)=8\) für \(x \in \{1,3,5,7,9,11,13\}\)

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