Partialbruchzerlegung - nicht nachvollziehbare Erklärung

Question

Beispiel:

Man gebe die Partialbruchzerlegung für den Polynombruch

$y=\frac{x^{2}-6 x+3}{x^{3}-15 x^{2}+75 x-125}$

an.

Lösung:

Das Nennerpolynom hat bei $x=5$ eine dreifache Nullstelle $x_{1}=x_{2}=x_{3}=5$, da man es als dritte Potenz von $x-5$ schreiben kann:
$x^{3}-15 x^{2}+75 x-125=(x-5)^{3}$

Damit lautet der unbestimmte Ansatz für die Partialbruchzerlegung:

$\frac{x^{2}-6 x+3}{(x-5)^{3}}=\frac{A_{1}}{x-5}+\frac{A_{2}}{(x-5)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x-5)^{3}}$

Die Multiplikation beider Seiten mit dem Nenner der linken Seite führt auf

$x^{2}-6 x+3=A_{1}(x-5)^{2}+A_{2}(x-5)+A_{3}$

Zur Bestimmung von $A_{1}, A_{2}$ und $A_{3}$ kann wieder einer der beiden Wege (I) oder (II) eingeschlagen werden:

Einsetzen bestimmter x-Werte. Mit x = 5 erhält man zunächst $A_{3}=-2 .$ Die übrigen x-Werte wird man zweckmäßigerweise so wählen, dass die Faktoren rechts klein bleiben:

$\begin{aligned} \textcolor{#F00}{x=6}: & 3=A_{1}+A_{2}-2 \\ \textcolor{#F00}{x=4}: &-5=A_{1}-A_{2}-2 \end{aligned}$

Aus diesen beiden Gleichungen berechnet man $A_{1}=1$ und $A_{2}=4$.

Ansatz/Problem:

Das, was ich nicht verstehe, habe ich rot markiert.

1) Woher kommen x = 6, x=4?

2) Beispiel:

$\frac{x-5}{(x-3)^{2}}=\frac{A_{1}}{x-3}+\frac{A_{2}}{(x-3)^{2}}$
$x-5=A_{1}(x-3)+A_{2}$
Einsetzungsverfahren:
$x=3 \rightarrow 3-5=A_{2}=-2$
Wie mache ich das für $A_{1} ?$ Geht das ohne Koeffizientenvergleich?

Answer 1

Der Ansatz war

(x² - 6·x + 3)/(x - 5)³ = a/(x - 5) + b/(x - 5)² + c/(x - 5)³

x² - 6·x + 3 = a·(x - 5)² + b·(x - 5) + c

Nun setzten wir 3 beliebige Werte ein. Die kannst du dir frei aussuchen Einer sollte am besten x = 5 sein

x = 5

5² - 6·5 + 3 = a·(5 - 5)² + b·(5 - 5) + c
-2 = c

x = 1

1² - 6·1 + 3 = a·(1 - 5)² + b·(1 - 5) + c
-2 = 16·a - 4·b - 2

x = 2

2² - 6·2 + 3 = a·(2 - 5)² + b·(2 - 5) + (-2)
-5 = 9·a - 3·b - 2

Du erhältst 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du lösen kannst.

Wie gesagt ist das völlig egal welche x-Werte du wählst. Der Einfachheit halber sollten aber die Nullstellen des Nenners dabei sein.

Die Lösung lautet hier a = 1 ∧ b = 4

Daher lautet die Partialbruchzerlegung

(x² - 6·x + 3)/(x - 5)³ = 1/(x - 5) + 4/(x - 5)² - 2/(x - 5)³

Comments

Vielen Dank Mathecoach.

Kannst du nochetwas zu meinem 2. Punkt sagen?

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Auch beim 2. Beispiel gilt: Einfach 2 Werte einsetzen

x - 5 = a·(x - 3) + b

3 - 5 = a·(3 - 3) + b --> -2 = b

0 - 5 = a·(0 - 3) + (-2) --> a = 1

Answer 2

1. Beispiel:

"Die übrigen x-Werte ... so wählen, dass die Faktoren rechts klein bleiben."

Ein schöner Faktor ist doch die 1 oder -1. Damit sind x=4 und  x=6  ideale Kandidaten.

.... = A(6-5)² + B(6-5)+ C

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2.Beispiel:

Suche einen "idealen" Kandidaten ...

Comments

Danke. Wie meinst du das mit idealen Kandidaten?