Bestimmen sie folgende Grenzwerte: lim x--> ∞ (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))

Question

Bestimmen sie die Grenzwerte:


a) lim x--> ∞  (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))

b) lim x--> 0  x* ln(x)

c) lim x--> 1 sin (1-x) / cos (π*x)

d) lim x--> 0 x / ln (e + x) -1

Answer 1

Hi

 

a) lim x--> ∞  (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x)) = 1

Schaue Dir dazu jeweils den größten Exponenten (Summand) im Zähler und Nenner an. Der jeweils andere wird 0.

 

b) lim x--> 0  x* ln(x) = 0

Typisches Beispiel für l'Hospital.

lim x--> 0  x* ln(x) = lim x--> 0  ln(x)/(1/x)

Nun kann man l'Hospital anwenden:

lim x--> 0  (1/x)/(-1/x^2) = lim x--> 0  -x = 0

 

c)lim x--> 1 sin (1-x) / cos (π*x) = 0

Denn der Nenner geht gegen -1, der Zähler gegen 0.

 

d)

Ob Du hier folgendes gemeint hast?

lim x--> 0 x / (ln (e + x) -1) = e

Einmal anwenden von l'Hospital ;).

lim x--> 0 x / (ln (e + x) -1) = lim x--> 0 ln (e + x) = e

 

Grüße

Answer 2

zu a) (e^x - e^-x)/(e^x + e^-x), hier würde ich e^x ausklammern

->e^x(1 - e^-2x)/[e^x(1 + e^-2x)] =  (1 - e^-2x)/(1 + e^-2x) = (1 - 1/e^2x)/(1 + 1/e^2x), für x -> oo geht der Term gegen (1 - 0)/(1 + 0) = 1

zu b) x* ln(x) kann ich auch so ausdrücken: ln(x)/(1/x), da beim Einsetzen für x = 0 was Unbestimmtes rauskommt, muss man die Regel von L'Hospital anwenden

-> Ableitung von ln(x) = 1/x und Ableitung von 1/x = -x^-2

--> (1/x)/(-x^-2) = -x²/x = -x, für x gegen 0, geht der Term gegen 0.

zu c) sin (1-x)/cos (π*x), für x gegen 1 geht der Term gegen sin (1-1)/cos (π*1) = sin(0)/cos(π) = 0/(-1) = 0

d) Hier ist es nicht eindeutig, ob die -1 im Nenner steht oder nicht.