Definitionsbereich von f(x) = sin(√x)

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und - mit Hilfe der Kettenregel - die erste Ableitung der Funktion
\( f(x)=\sin \sqrt{x} !=\operatorname{sin}\left(x^{\frac{1}{2}}\right) \)

b) Benutzen die logarithmische Differenziation und die Produktregel um die Ableitung der Funktion \( f(x)=x^{\ln x} \) zu bestimmen.

Kann mir einer den Definitionsbereich der beiden Funktionen nennen?

Answer 1

Hi,

überlege Dir etwaige Problemstellen/-bereiche.

a)

Für die Wurzel muss der Radikand ≥ 0 sein, also schonmal x ≥ 0.

Dann den Sinus anschauen. Da gibt es nichts zu beachten, also D = {ℝ|x ≥ 0}.

 

b)

Hier ist der Numerus ein Problem. Das bedeutet schonmal, dass x > 0 sein muss. Weitere Probleme sind nicht ersichtlich und damit D = ℝ⁺ (also ohne 0).

Grüße

Answer 2

sin √ x
Definitionsbereich
Der Wert in der Wurzel muß >= 0 sein
Kettenregel
[ sin ( term ) ] ´ = cos ( term ) * term ´
term ´ = 1 / ( 2 * √ x )
oder
term = x^{1/2} = 1/2 * x^{1/2-1} = 1/2 * x^{-1/2}
( Ist dasselbe wie die erste Ableitung )

[ sin ( √ x  ) ] ´ = cos ( √ x  ) * 1/2 * x^{-1/2}

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg