Grenzwert einer Reihe ∑ (3^{k+1}/2^{2k}) für k=2 bis unendlich

Question

Ich soll von der unendlichen Reihe

\( \sum \limits_{k=2} \frac{3^{k+1}}{2^{2 k}} \)

den Reihenwert bestimmen.

Comments

Hi, 3 ausklammern. 2^2k = 4^k umschreibe und das dann als geometrische Reihe erkennen.

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ok auf den Teil hätte ich auch selber kommen können, aber was mach ich mit der Potenz von k+1?

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\(3^{k+1}=3 \cdot 3^k\)

Answer 1

$$ \sum_{k=2}^\infty \frac{3^{k+1}}{2^{2k}}=\sum_{k=2}^\infty \frac{3^{k+1}}{4^k}=3 \sum_{k=2}^\infty \frac{3^{k}}{4^{k}}=3\left(\frac{1}{1-\frac{3}{4}}-1-\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{4}$$

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Csum_%7Bk%3D2%7D%5E%5Cinfty+%5Cfrac%7B3%5E%7Bk%2B1%7D%7D%7B2%5E%7B2k%7D%7D