Stammfunktion: ∫(cos(x)*e-x) dx. Welches Vorgehen bietet sich an?

Question

wie bereits eingangs erwähnt, möchte ich gerne ∫(cos(x)*e^{-x}) dx berechnen und wüsste gerne wie man hier vorgehen könnte. Gibt es da irgendein schnelles Verfahren, ohne jetzt einmal zu substituieren und dann nochmal partielle Integration anzuwenden oder ähnliches? Würde mich sehr über Ideen freuen.

Comments

Du kannst 2 mal partiell integrieren und dann so ähnlich vorgehen wie in der definitiven Fassung hier: https://www.mathelounge.de/98947/partielle-integration-∫-sin-x-·cos-…

Answer 1

Ich würde 2 mal partiell Integrieren. Etwas einfacheres fällt mir nicht ein.
Die Stammfunktion sollte

e^{-x}·(SIN(x)/2 - COS(x)/2)

sein. Und die Verrät dir ja auch schon, dass es wohl nicht einfacher geht.

Comments

Wie würde das denn nur mit partieller Integration funktionieren, so ganz ohne Substitution?

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Willst du es nicht mal selber probieren ? Und wenn du nicht weiter weißt dann nachfragen?

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Naja der zu integrierende Teil wird nach der ersten partiellen Integration ja entweder (-e^-x)*sin(x) oder (-e^-x)*-sin(x) und da findet sich doch wieder genau dasselbe Problem oder sehe ich das falsch?

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Ich sagte ja auch 2 mal partiell Integrieren.

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Das habe ich verstanden nur würde dann wieder der zu integrierende Teil e^-x*-cos(x) sein oder e^-x*cos(x) und da kann man doch nix draus machen oder?

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∫ COS(x)·e^-x dx

 

Partielle Integration

 

= ∫ COS(x)·e^-x dx

= SIN(x)·e^-x - ∫ SIN(x)·(- e^-x) dx

= SIN(x)·e^-x + ∫ SIN(x)·e^-x dx

 

∫ SIN(x)·e^-x dx

 

Nochmals partielle Integration

 

∫ SIN(x)·e^-x dx

= - COS(x)·e^-x - ∫ - COS(x)·(- e^-x) dx

= - COS(x)·e^-x - ∫ COS(x)·e^-x dx

 

∫ COS(x)·e^-x dx = SIN(x)·e^-x + ∫ SIN(x)·e^-x dx

∫ COS(x)·e^-x dx = SIN(x)·e^-x - COS(x)·e^-x - ∫ COS(x)·e^-x dx
2·∫ COS(x)·e^-x dx = SIN(x)·e^-x - COS(x)·e^-x
2·∫ COS(x)·e^-x dx = e^-x·(SIN(x) - COS(x))

∫ COS(x)·e^-x dx = 1/2·e^-x·(SIN(x) - COS(x))

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Achso habe verstanden, Lu's Kommentar hat den entscheidenden Hinweis gebracht, Stichwort das Ganze ist mehr als die Summe seiner Teile. Ich habe nicht berücksichtigt, dass sich hier eine Gleichung ergibt die sich so lösen lässt. Super Tipp daher, die Idee dahinter werde ich in der Klausur sicherlich für eine ähnliche Aufgabe dieser Form übernehmen können. Danke noch einmal an euch beide :)