Kehrwert bei Division und negativer Exponent

Question

ich habe direkt zwei Anliegen, auf beide finde ich für mich einfach keine Antwort.

Erstens der Kehrwert beim dividieren: (9/11) / (4/6) = 9/11 * 6/4 = 54/66
Wie funktioniert das? Also ich will einen Bruch dividieren nehme aber den Kehrwert vom zweiten Bruch mal? Kann man das auch auf andere Zahlenbereiche anwenden?

Zweitens der negative Exponent: Wozu braucht man den bzw. wieso ist 3^{-3} = 0,037 ? Ich finde einfach keinen kausalen Zusammenhang.. vielleicht wäre jemand so nett, mich ein wenig darüber aufzuklären!

Vielen Dank und lg

Comments

Erstens der Kehrwert beim dividieren: (9/11) / (4/6) = 9/11 * 6/4 = 54/66

 

Das ist falsch. Es muss 54/44 lauten.

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Wieder falsch : es muss 54/36 lauten ! 6/4 ...6(×9)/4 (×9) =54/36

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Wieder falsch : es muss 54/36 lauten ! 6/4 ...6(×9)/4 (×9) =54/36

Hi, ich sehe keinen Sinn in dieser Aussage. Was hast Du denn da gerechnet?

Answer 1

3^-3 = 1/3^3 = ca. 0,037 ? 

Das eigentlich einfach so definiert.

Und die Definition passt ohne Widerspruch zu den bekannten Potenzregeln.

Z.B. a^b * a^c = a^{b+c}     für b, c Element N, a> 0.

==> a^b = a^{b+c} : a^c = a^{b+c ?? c} 

?? muss ein Minus sein.

Also: 3^5 : 3^2 = 3^3

3^100 : 3^103 = 3^{-3}           , Regel erweitert.

Aber 3^100 / 3^103 = 1/3^3        , übliche Methode Brüche zu kürzen.

Damit nun 3^100 : 3^103 = 3^100/3^103 

ist nötig, dass 3^{-3} = 1/3^3

usw.

Comments

Erstens der Kehrwert beim dividieren: (9/11) / (4/6) = (9/11) * (6/4) = 54/44
Wie funktioniert das? Also ich will einen Bruch dividieren nehme aber den Kehrwert vom zweiten Bruch mal?

Ja. Das ist so richtig.

Kann man das auch auf andere Zahlenbereiche anwenden?

Du meinst mit Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind? Das geht auch. Einfach dran denken, dass du in keinem 'internen' Bruch und auch im Gesamtbruch nicht durch 0 dividieren darfst.

Du kannst  auch Bruchterme so einfach durcheinander dividieren.

Beachte zur Klarheit die Klammerung, die ich in deiner Fragestellung grün ergänzt habe.

Answer 2

Merk dir einfach folgendes:

 

"Division" im eigentlichen Sinne ist nichts anderes, als mit dem Kehrwert der zweiten Zahl zu mulitplizieren.

Jeder Bruch stellt nur eine Division zweier Zahlen dar.

 

Grob gesagt:

 

5 geteilt durch 3 heisst nichts anderes, als das man 5 mit dem Kehrwert von 3 multiplizieren soll.

 

D.h

 

5 : 3 --->   5 * 1/3

 

und wenn man die 5 jetzt in den Zähler packt, erhält man halt einen gewöhnlichen Bruch.

 

So ist jeder Bruch also nur eine Multiplikation mit dem Kehrwert des Nenners (der zweiten Zahl)

Answer 3

Beweis :  a : b/c = a * c/b = a*c /b --->  a*c /b   *  b/c = a   !!

Potenzgesetze :  a^-n  =    1/ aⁿ   !!   ------>  3  ^-3  =  1/ 3 ³ = 1/27

Answer 4

Ein Division a/b kann durch die Multiplikation mit dem Kehr wert von b (1/b) gelöst werden.

Bei Brüchen ist es genau dasselbe, also einen Bruch der Form a/b dividiert man analog durch einen Bruch der Form c/b indem man mit dem Kehrwert multipliziert also (a/b) * (b/c).

Beweis des Zusammenhanges durch ausrechnen.

Dies gilt für alle Zahlen und Zahlenbereiche mit Ausnahme der Zahl null.


Exponenten:

Exponenten geben an, wie oft ein Faktor in einem Produkt vorhanden ist

also a^n = a * a * a... * a genau n mal

Bei der Division von a^n durch a^m mit m<n erhält man

a^{n-m}

Ergänzt man das auch für m>=n, so erhält man für m=n die Zahl 1

Bei m>n erhält man einen Bruch mit 1/(a*a*a*a ...*a) mit n-m Faktoren.

Der Witz ist also, dass ein negativer Exponent nichts anderes ist für eine ANDERE Schreibweise der Division von 1 durch dieselbe Zahl mit positiven Exponenten. Das ist schon wieder alles, nix geheimnisvolles

Daher sind negative Exponenten eine nette Erweiterung über den Bereich der positiven Exponenten hinaus.