Grenzwert von -(f((x-Δx)+Δx)-f((x-Δx)+Δx))/Δx = -f ' (x)?

Question

Hallo alle zusammen,

ich möchte zeigen dass lim Δx→0   (f(x-Δx)-f(x))/Δx = -f ' (x)    ist.

Ich bin soweit:  lim Δx→0   (f(x-Δx)-f(x))/Δx =  lim Δx→0   (f(x-Δx)-f((x-Δx)+Δx))/Δx

=  lim Δx→0   -(f((x-Δx)+Δx)-f((x-Δx)+Δx))/Δx

Könntet ihr mir zeigen und dabei begründen ob lim Δx→0   -(f((x-Δx)+Δx)-f((x-Δx)+Δx))/Δx = - f ' (x) ist?

Comments

Versuch mal von Anfang an -Δx = h zu setzen. 

Δx ist dann h und

lim Δx→0   (f(x-Δx)-f(x))/Δx 

= lim h->0   (f(x+h)-f(x))/(-h)

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Danke für die schnelle Antwort. Mit diesem Tipp könnte ich von lim h->0   (f(x+h)-f(x))/(-h)  das Minus im Nenner da es eine Konstante ist vor den lim ziehen und hätte dann - f ' (x). Aber ist lim Δx→0   (f(x-Δx)-f(x))/Δx identisch mit  lim h->0   (f(x+h)-f(x))/(-h)? Denn nun strebt genau genommen -Δx gegen 0 und nicht +Δx?

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Hat denn dein delta x ein Vorzeichen?

In der Definition der Ableitung ist das für das h auf jeden Fall nicht vorgegeben.

Answer 1

Setze von Anfang an -Δx = h 

Δx ist nun -h und 

lim Δx→0   (f(x-Δx)-f(x))/Δx 

= lim h->0   (f(x+h)-f(x))/(-h)                      |h -> 0 genau dann wenn (-h)---> 0

= - lim h->0   (f(x+h)-f(x))/(h)  = - f '(x)