U = {x=(x1,x2,x3) € R³ | x1+2*x2=0} W={x=(x1,x2,x3) € R³ | x2+x3=0}
Bestimme dim U, eine Basis von U und dim U geschnitten W.
Wie mache ich das?
U und W sind im R^3 Ebenen, die durch eine Koordinatengleichung gegeben sind. Also 2-dimensional. Eine Basis von U: 2 Linear unabhängige Vektoren in U. v = (0,0,1). w = (2,-1,0) [vertikal schreiben]
Beide Ebenen enthalten den Punkt (0,0,0). Da sie nicht parallel sind, ist die Schnittmenge eine Gerade und hat deshalb die Dimension 1. fertig!
Etwas ausführlicher:
Ich schreibe x,y,z statt x1… damit das übersichtlicher ist. Vektoren sind fett
U = {x=(x,y,z) € R³ | x+2*y=0} enthält (-2,1,0), (-2,1,1),(-4,2,100)… allg (-2y, y, zbeliebig). Ebene enthält z-Achse, steht also senkrecht auf der Grundebene.
W={x=(x,y,z) € R³ | y+z=0}. Enthält allg. (xbeliebig,y,-y). Ebene enthält x-Achse. Steht senkrecht auf der Seitenrissebene.
Schnittgerade g: Punkte erfüllen beide Gleichungen
x + 2y = 0 und y + z = 0. Sei x = 2, dann ist y = - 1 und z = 1. Somit (2,-1,1) auf g
Auch x=y=z=0 auf g.
Richtungsvektor von g: (2,-1,1) [vertikal schreiben]
Parametergleichung von g: r = t(2,-1,1) [Vektoren: vertikal schreiben]
