Zeigen, dass die Folgen den Grenzwert 0 haben. an=3/n

Question

Ich weiß, dass die folgenden 3 Folgen den Grenzwert 0 haben, das soll ich nun beweisen. Doch wie macht man das?

1. a_n=3/n

2. a_n=- 1/2n

3. a_n= 5*1/n

Um den Grenzwert herauszufinden kann man ja für n eine hohe Zahl eingeben.  z.B. wenn man bei der 1. für n 10.000 einsetzt dann würde ja 0.0003 herauskommen, für  n 100.000 wäre es 0.00003 usw. Man sieht mit dieser Methode ja dass die Folge gegen 0 geht, folglich ist es ja auch bewiesen? oder nicht?

Comments

Mit welcher Definition von Konvergenz arbeitet ihr denn?

Du musst einen mathematischen Beweis in Bezug zur Definition und gegebenenfalls bereits daraus abgeleiteten Sätzen führen.

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a_n=- 1/2n

konvergiert nur gegen 0, wenn n unter dem Bruchstrich steht.

Zur Verdeutlichung so angeben:

a_n=- 1/(2n)

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Definition: Die Zahl a heißt Grenzwert der Folge (a_n|n∈ℕ^*), geschrieben a= lim_n→∞a_n, wenn es zu jeder Zahl ε ∈ ℝ⁺ einen Index n₀ ∈ ℕ^* gibt, sodass |a_n-a| < ε, für alle n ≥ n₀

Answer 1

1. a_n=3/n

Beh. a= 0 ist der Grenzwert

Sei E>0 gegeben. Wir bestimmen ein no so dass |a_n-a| < ε, für alle n ≥ no,

Also |3/n - 0| < E  umformen nach n. Da n> 0 

3/n < E        | *n, :E

3/E < n

Also nehmen wir no:= '3/E aufgerundet aus die nächste natürliche Zahl'. qed.

Ab dann ist die Forderung  |3/n-0| < ε, für alle n ≥ no erfüllt.

2. und 3. gehen analog. Das - verschwindet, wenn du den Betrag nimmst.

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