U ist ein Untervektorraum

Question

Wie betrachten den Vekorraum Abb(N, R) aller reellwertigen Zahlenfolgen. Darin be–

trachten wir

U := {(an)n∈N ∈ Abb(N, R)|a_n+2 = a_n+1 + a_n}

Zeigen Sie:

1. U ist ein Untervektorraum

2. U ist endlich erzeugt

Answer 1

Zu 2)  Definiere die Folgen  (x_n)_n∈ℕ  und  (y_n)_n∈ℕ  durch
x₁ = 1, x₂ = 0, x_n+2 = x_n+1 + x_n, sowie y₁ = 0, y₂ = 1, y_n+2 = y_n+1 + y_n.
Offensichtlich gilt  (x_n),(y_n) ∈ U. Sei nun  (a_n) ∈ U.
Zeige: Für alle  n ∈ ℕ  gilt  a_n = a₁·x_n + a₂·y_n.