Differentialgleichung mit Randbedingung

Question

Die Funktion y(x): R→R erfülle die Differentialgleichung

xy'+y=x^2+1

Bestimmen Sie y(x) unter Beachtung der Randbedingung y(3)=0

Also, die Differentialgleichung muss ich ja vermutlich so lösen, wie in meinen beiden vorherigen Fragen? Muss ich dann zum Schluss die Randbedingung auch so einsetzen, wie die Anfangsbedingung? Aber dann gäbe es ja keinen Unterschied zwischen beiden? Oder muss ich hier etwas ganz anderes machen?

Answer 1

hier hilft die Substitution \(z=x\cdot y\) weiter.
Es ist \(z'=y+x\cdot y'=x^2+1\). Integration ergibt$$z=\frac13x^3+x+C.$$Rücksubstitution liefert$$y=\frac zx=\frac13x^2+1+C\cdot\frac1x.$$Aus der RB \(y(3)=0\) folgt nun \(C=-12.\)

Comments

Jetzt habe ich es verstanden.