Tragflächenlast eines Holzbalken

Question

Extremwertaufaben mit nebenbedingug

die Aufgabe:

Die Tragfähigkeit eines Holzbalken (Holzbalken meistens nicht Quadratisch sondern höher als breit= tragfähiger) ist zu seiner breite b und zum Quadrat seien Höhe h potional. Seine Tragfähigkeit T kann  deshalb durch den Term T(b,h) = b*h^2 beschrieben werden.

Bestimmen sie die optimalen Maße eines Balken der aus einem Rundholz mit dem Durchmesser 30 cm geschnitten werden und eine möglichst große Tragfähigkeit  aufweisen soll.

Zimmermans regel

Teile den Durchmesser eines Kreisförmigen Querschnitts des Baustammes in 3 gleiche Teile. Ereichte in den Teilungspunkten jeweils das Lot. Damit erhältst du den Balkenquerschnitt

Faustregel    

Breite  : Höhe = 5:7

Also ich muss lieder sagen dass ich bei dieser Aufgabe schon bei ziehlfunktion und nebenbedingung scheitere, deshalb wäre ich sehr dakbar wenn mir jemand hilft

Answer 1

r = 15 cm
Im Kreis ( Stamm ) gilt die Beziehung ( Pythagoras )
r^2 = x^2 + y^2
225 = x^2 + y^2
y = √ ( 225 - x^2 )
Holzbalken
Breite  = 2 * x
Höhe = 2 * y
W = Breite * Höhe^2
W = 2 * x * ( 2 * y )^2
W = 2 * x * [ 2 * ( √ ( 225 - x^2 ) ]^2
W = 2 * x * [ 4 * ( 225 - x^2 ) ]
W = 8 * x * ( 225 - x^2 )
W = 8 * [ 225 * x - x^3 ]
1.Ableitung bilden
W ´ ( x ) = 8 * [ 225 - 3 * x^2 ]
Extremwert
8 * [ 225 - 3 * x^2 ] = 0
225 - 3 * x^2 = 0
3 * x^2 = 225
x^2 = 75
x = 8.66 cm
Breite = 17.32 cm
225 = x^2 + y^2
y^2 = 225 - 8.66^2
y^2 = 150
y = 12.25
Höhe = 24.50 cm

Vergleich mit der Faustformel
17.32 / 24.50 = 5 / 7
0.707 = 0.714

Comments

Vielen dank für die Mühe, aber noch eine Frag e

W = 2 * x * ( 2 * y )^2
W = 2 * x * [ 2 * ( √ ( 225 - x^2 ) ]^2

Wo ist da das y hin?

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SInd y und x das selbe?

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Für den Kreis ( Holzstamm ) gilt der Pythagoras

r² = x² + y²
d = 30 cm
r = 15 cm
r^2 = 225 cm^2
225 = x² + y²
y = √ ( 225 - x² )
Holzbalken
Breite  = 2 * x
Höhe = 2 * y
W = Breite * Höhe²
W = 2 * x * ( 2 * y )² | das y wird ersetzt durch  y = √ ( 225 - x² )
W = 2 * x * [ 2 * ( √ ( 225 - x² ) ]²


mfg Georg