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linear abhängig/unabhängig kollinear/komplanar kann mir jemand verständlich erklären was das heißt und wo der zusammenhang ist ?

 

Frage steht oben habe mir bestimmt 10 defintionen durchgelesen und auch die Erklärung im Buch aber mir wird der Zusammenhang einfach nicht klar :(
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linear abhängig/unabhängig kollinear/komplanar kann mir jemand verständlich erklären was das heißt und wo der zusammenhang ist ?

Eine richtige Definition hast du bestimmt in deinen Unterlagen. Nun zur Bedeutung

Die Wörter linear und planar haben etwas mit Geraden (Linien) und Ebenen (englisch 'plane') zu tun. ko-/kon-/kom- bedeutet zB. 'mit', 'zusammen' (zB. Komposition: Zusammensetzung von Noten zu einem Musikstück)

Ein Vektor ist linear abhängig von einem andern, wenn beide die gleiche Richtung haben. Also: parallel oder antiparallel. Man sagt auch kollinear.

Zwei Vektoren sind linear unabhängig voneinander, wenn sie in verschiedene Richtungen zeigen und keiner der Nullvektor ist. Sie spannen zusammen eine Ebene auf und sind deshalb automatisch komplanar. 

Eigentlich ist komplanar erst ab 3 Vektoren interessant, denn es ist möglich dass 3 Vektoren nicht parallel zur gleichen Ebene und damit nicht komplanar sind.

Sind 3 Vektoren komplanar, so sind sie linear voneinander abhängig und man kann einen als Summe von Vielfachen der andern darstellen. 

Wenn man keinen der 3 Vektoren als Summe von Vielfachen der andern darstellen kann, sind die Vektoren linear unabhängig. Sie spannen den 3-dimensionalen Raum auf. 

In 3-dimensionalen Raum sind 4 und mehr Vektoren immer linear voneinander abhängig.

Spezialfall. Nullvektor gemäss Definition: Länge 0. Richtung: alle gleichzeitig.
Deshalb: kollinear zu allen Vektoren, komplanar zu allen Ebenen und linear abhängig von allen Vektoren. Wenn bei Vektoren der Nullvektor vorkommt, sind die Vektoren immer linear voneinander abhängig.

Beantwortet von 144 k

"Sind 3 Vektoren komplanar, so sind sie linear voneinander abhängig und man kann einen als Summe von Vielfachen der andern darstellen."

Sorry, dass ich da noch einmal nachhaken muss.

Ich habe bis jetzt immer gedacht, dass komplanar bedeutet, dass die Vektoren in einer Ebene liegen. Dazu müssten die doch nicht zwangsläufig parallel bzw. linear abhängig voneinander sein, oder?

Doch: Ab 3 Vektoren parallel zu einer Ebene sind immer linear abhängig, da 2 für eine Basis einer Ebene genügen.

wenn drei Vektoren voneinander linear abhängig sind, beinhaltet dies den Fall, das alle drei, zwei oder auch keiner der drei parallel liegen. wenn alle drei in einer ebene liegen, kann mindestens einer der drei Vektoren als summe von vielfachen der anderen zwei Vektoren dargestellt werden. Sobald drei Vektoren in einer gemeinsamen ebene liegen, sind sie untereinander linear abhängig! Sie können, müssen aber nicht, parallel sein!

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