Ableitung mit einer Bedingung.

Question

Hallo ich habe folgendes Problem:

Aufgabe 4:

Gegeben ist die Funktion x³+y³=3a*x*y     (mit y=y(x))

a) Bilden Sie die 1. Ableitung der Funktion.

b) Für welches a hat der Graph der Funktion eine horizontale Tangente im Punkt P(4;2)?

Ich zerbreche mir den Kopf, weil ich überhaupt nicht weiß, wie ich mit den (mit y=y(x)) umgehen soll.

Die Lösung soll sein a) y= (ay-x²)/(y²-ax)  b) a=8

Comments

Ich komme zwar auch auf a = 8 bei b) allerdings

Für a = 8 gehört der Punkt P(4 | 2) nicht zum Graph :(

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Da hat sich der Aufgabensteller wohl verschusselt.  Es gäbe immerhin drei reelle Möglichkeiten, aber alle fern von 2.

Answer 1

Lies dir mal in der Wikipedia den folgenden Artikel durch.

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Wenn du dann noch Schwierigkeiten hast, dann frag gerne nochmals nach.

Answer 2

$$x^3+y(x)^3=3a \cdot x\cdot y(x)$$
nach x ableiten
$$3x^2+3y(x)^2 \cdot y'(x)=3a \cdot\left(1 \cdot y(x)+x \cdot y'(x) \right)$$
$$x^2+y(x)^2 \cdot y'(x)=a \cdot\left(1 \cdot y(x)+x \cdot y'(x) \right)$$
$$x^2+y(x)^2 \cdot y'(x)=a \cdot y(x)+a \cdot x \cdot y'(x)$$
$$x^2+y(x)^2 \cdot y'(x)-a \cdot x \cdot y'(x)=a \cdot y(x)$$
$$y(x)^2 \cdot y'(x)-a \cdot x \cdot y'(x)=a \cdot y(x) -x^2$$
$$y'(x)\cdot (y(x)^2 -a \cdot x )=a \cdot y(x)-x^2$$
$$y'(x) =\frac{a \cdot y(x) -x^2}{y(x)^2 -a \cdot x}$$