Binomische Formeln in Bruchtermen und Formeln für Potenzen und Logarithmen.

Question

Aufgabe 32:

Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrück. a, b, x und y seien dabei so gewählt, dass alle auftretenden Terme definiert sind.

a) \( \frac{(\sqrt{x}-2 \sqrt{y})(\sqrt{x}+2 \sqrt{y})}{5 x-20 y} \)

b) \( \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1-x}} \)

c) \( (\sqrt{b}-\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{b}+\sqrt{5})^{2} \)

d) \( \sqrt{9 a^{2}-6 a+1} \)

e) \( \frac{4 \sqrt{1+2 x}}{\sqrt{1-4 x^{2}}} \)

f) \( \sqrt{a^{2}-10 a+25} \)

Aufgabe 33:

Machen Sie die jeweils auftretenden Nenner rational und vereinfachen Sie.

a) \( \sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \)

b) \( 4 \sqrt{6 t}-\frac{5 t \sqrt{2}}{\sqrt{3 t}} \) für \( t>0 \)

c) \( \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \) fiar \( a, b>0 \)

d) \( \int \limits_{\sqrt{a^{2} y}}-\frac{y \sqrt{a^{4} y}}{a \sqrt{a y^{3}}} \) für \( a, y>0 \)

Aufgabe 34:

Lösen Sie ohne Taschenrechner:

a) \( \log _{5} 25 \)

b) \( \lg 0.001 \)

c) \( \log _{17} 1 \)

d) \( \log _{2}\left(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[6]{2^{3}}\right) \)

e) \( \log _{8} \frac{1}{\sqrt{8}} \)

Answer 1

ich mache mal die 32e) und die 34d)

Tipp 32c) -> Binomische Formeln erkennen und zusammenrechnen

Tipp 33d) -> Ziehe y und a in die Wurzel rein (rechter Bruch). Kürze was geht.

Beachte -> \(\frac{\sqrt x}{\sqrt y} = \sqrt{\frac xy}\)

32e)

$$\frac{4\sqrt{1+2x}}{\sqrt{1-4x^2}} = \frac{4\sqrt{1+2x}}{\sqrt{(1-2x)(1+2x)}} = \frac{4}{\sqrt{1-2x}}$$

34d)

$$\log_2(\sqrt[3]{2}\sqrt[5]{2^3}) = \log_2(2^{\frac13}2^{\frac35})= \log_2(2^{\frac13+\frac35}) $$

$$= \log_2(2^{\frac{14}{15}}) = \frac{14}{15}\log_2(2) = \frac{14}{15}$$

Grüße