Gerade zu x-Achse soll die Hälfte der Fläche einer Parabel einschließen

Question

Also die genaue Aufgabe lautet:

Gegeben ist die Parabel
 f(x)= --1/2x^2 +2.
 Die Fläche,die diese Parabel mit der x-Achse einschließt, soll durch ene Gerade parallel zur x-Achse halbiert    werden.

Also bei der Geraden muss man bei der Funktion
g(x)=b
ja nur das b herausfinden.
Wie man das macht weiß ich aber nicht.

Ich hab bisher nur herausgefunden, dass der gesamte Flächeninhalt unter der Parbel zu x-Achse 16/3 ist. Dann muss ja die Fläche, die die Gerade einschließt 8/3 sein.
Vielleicht könnte man das irgendwie durch Gleichsetzen, aber da komm ich nicht weiter.

Answer 1

f ( x ) = -1/2 * x²  + 2.
Dies ist eine nach unten geöffnete Parabel.
Stammfunktion
F ( x ) = -1/2 * x^3 / 3 + 2 * x
F ( x ) = -1/6 * x^3  + 2 * x
Nullstellen
- 1/2 * x^2 + 2 = 0
- 1/2 * x^2 = -2
x^2 = 4
x1 = 2
x2 = -2
Flächeninhalt oberhalb der x-Achse
A = F ( x1 ) - F ( x2 )
A  =  -1/6 * 2^3  + 2 * 2 - ( -1/6 * (-2)^3 + 2 * (-2) )
A = - 1/6 * 8 + 4 - ( ( - 1/6 ) * (- 8 ) - 4 ) )
A =  - 8 / 6 + 4 - 8 / 6 + 4
A = 16 / 3

In der folgenden Skizze wird nur der rechte Teil der Parabel mit
A = 8 / 3 betrachtet. Dies spart Rechnungen. Der obere, schraffierte
Teil hat die Fläche 4/3.
Der obere Teil Ist die Fläche bis x minus dem Rechteck
x * f ( x )

Kleiner Fehler
bei f ( x ) muß es -1 /2 * x^2 heißen
x = 1.59
f ( 1.59 ) = 0.74
Die Gerade ist g ( x ) = 0.74

mfg Georg

Comments

Das ist super nett, aber ich hab jetzt noch nicht ganz verstanden, wie du auf die Werte vom rechteck kommst, mit diesem f(x). Aber ansonsten vielen dank, mein Wochenende ist gerettet :)

---

Das bekommen wir auch noch erklärt.

- die untere Seite des Rechtecks hat die Länge x

- die rechte Seite des Rechtecks hat die Länge
  des Funktionswerts an der Stelle x
  Also f ( x ) oder y

- Das Rechteck hat die Fläche ( x * y ) oder (  x * f ( x )  )