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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Da wir die Fläche bestimmen sollen, die die beiden Wendetangenten mit der \(x\)-Achse einschließen, brauchen wir natürlich zuerst die Formeln für diese Wendetangenten. Für deren Berechnung brauchen wir ein paar Ableitungen:$$f(x)=\frac{1}{24}x^4-x^2+\frac{10}{3}\;;\; f'(x)=\frac{1}{6}x^3-2x\;;\; f''(x)=\frac{1}{2}x^2-2\;;\;f'''(x)=x$$Kandidaten für Wendepunkte finden wir dort, wo die 2-te Ableitung zu Null wird:$$0\stackrel!=f''(x)=\frac{1}{2}x^2-2=\frac{1}{2}(x^2-4)=\frac{1}{2}(x+2)(x-2)$$$$\implies x_{w1}=-2\;;\;x_{w2}=+2$$Wegen \(f'''(-2)=-2\ne0\) und \(f'''(2)=2\ne0\) sind das nicht nur Kandidaten für Wendepunkte, sondern tatsächliche Wendepunkte.
Als nächstes brauchen wir die Tangenten an die Funktion \(f(x)\) bei den Wengepunkten. Dazu setzen wir die \(x\)-Werte der Wendepunkte in die Tangentengleichung ein:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\quad(\text{allgemeine Tangentengleichung})$$$$t_1(x)=f(-2)+f'(-2)\cdot(x-(-2))=0+\frac{8}{3}\cdot(x+2)\underline{=\frac{8}{3}\cdot x+\frac{16}{3}}$$$$t_2(x)=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)=0-\frac{8}{3}\cdot(x-2)\underline{=-\frac{8}{3}\cdot x+\frac{16}{3}}$$
Bevor wir nun die gesuchte Fläche bestimmen, lassen wir uns die Situation mal plotten:
~plot~ x^4/24-x^2+10/3 ; 8/3*x+16/3 ; -8/3*x+16/3 ; [[-4|4|-3|6]] ~plot~
Die gesuchte Fläche ist offenbar ein Dreieck. Auf der \(x\)-Achse reicht es von \(x=-2\) bis nach \(x=2\), also ist seine Breite \(4\) Längeneinheiten. Seine Höhe ermitteln wir aus den Funktionswerten der beiden Tangenten bei \(x=0\), also \(t_1(0)=t_2(0)=\frac{16}{3}\). Beide Tangenten liefern dasselbe Ergebnis, sodass wir sicher sein können, den richtigen Schnittpunkt zu verwenden. Die Fläche des Dreiecks ist also:$$F=\frac{1}{2}\cdot\text{Grundseite}\cdot\text{Höhe}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$
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