Frage zur vollständigen Induktion

Question

Hallo

Könnte mir jemand mit folgender Aufgabe zur vollständigen Induktion helfen?

Ich soll beweisen, dass folgende Ungleichung für alle n ∈ℕ mit n≥1 gilt.

$$ \sum _{ I=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } \ge \sqrt { n } $$

Ich habe die Aufgabe folgendermaßen versucht zu machen.

Induktionsanfang: für n=1

$$ \sum _{ I=1 }^{ 1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } =\frac { 1 }{ 1 } =1=\sqrt { 1 } \\ $$

Induktionsvoraussetzung:

Die Behauptung gilt für ein beliebiges n ∈ℕ

Induktionsschritt:

n→n+1

zu beweisen ist: 

$$ \sum _{ I=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } \ge \sqrt { n+1 } \\ $$

IS:

 $$ \sum _{ I=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } \\  =  \sum _{ I=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  } +\quad \frac { 1 }{ n+1 }  } \\ $$  

nach IV gilt 

 $$ ≥  \sqrt { n } +\quad \frac { 1 }{ \sqrt { n+1 }  } \ge \quad \sqrt { n+1 } \\   $$

Somit ist wäre die Behauptung bewiesen.

Habe die Aufgabe richtig gelöst? oder soll man die anders angehen?

Ich habe irgendwie das Gefühl, dass da irgendwas fehlt.

Comments

Hier noch mal mein Lösungsvorschlag richtig angezeigt.

zu zeigen: 

$$\sum _{ i=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } \ge \sqrt { n+1 } $$

IS:

$$ \sum _{ i=1 }^{ n+1 }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } =\quad \sum _{ i=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ \sqrt { i }  }  } +\quad \frac { 1 }{ \sqrt { n+1 }  } ≥ \sqrt { n } +\quad \frac { 1 }{ \sqrt { n+1 }  } \ge \sqrt { n+1 }  $$

Ist solch eine Lösung richtig?

oder gibt's noch andere Wege?

---

Du müsstest noch zeigen dass

√n + 1/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

oder ist dass hier in der Aufgabe so offensichtlich? Also z.B.

√n + 1/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

√n·√(n + 1)/√(n + 1) + 1/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

(√n·√(n + 1) + 1)/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

√n·√(n + 1) + 1 ≥ √(n + 1)·√(n + 1)

√n·√(n + 1) + 1 ≥ n + 1

√(n^2 + n) ≥ n

n^2 + n ≥ n^2

---

hello123: Den letzten Schritt deiner Ungleichung im IS solltest du noch durch Umformung zeigen. So wie's dasteht ist das nun erst mal die Induktionsbehauptung.

---

Wow, das waren ja super schnelle Antworten.

Herzlichen dank 

Jetzt ist mir klar wie ich die Ungleichungen beweisen soll.

Answer 1

Dann ist Deine Frage ja beantwortet.

Du müsstest noch zeigen dass

√n + 1/√(n + 1) ≥ √(n + 1) 

oder ist dass hier in der Aufgabe so offensichtlich? Also z.B.

√n + 1/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

√n·√(n + 1)/√(n + 1) + 1/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

(√n·√(n + 1) + 1)/√(n + 1) ≥ √(n + 1)

√n·√(n + 1) + 1 ≥ √(n + 1)·√(n + 1)

√n·√(n + 1) + 1 ≥ n + 1

√(n² + n) ≥ n

n² + n ≥ n²