Trigonometrie: Wie hoch steht ein Drache, wenn die 50m lange Schnur einen Winkel ...

Question

1. Wie hoch steht ein Drache, wenn die 50m lange Schnur einen Winkel von 52 Grad mit dem Erdboden bildet?

2. Eine Bohnenstange (2,4m) wirft einen Schatten von 3,9m. Wie hoch steht die Sonne?

Wie rechnet man diese Aufgaben?danke.

Answer 1

2. Eine Bohnenstange (2,4m) wirft einen Schatten von 3,9m.Wie hoch steht die Sonne?

Die Höhe der Sonne über dem Horizont wird mit einem Winkel (nenne ihn Alpha) angegeben, den man Höhenwinkel nennt.

Die Bohnenstage ist Gegenkathete von Alpha, der Schatten die Ankathete von Alpha. Daher 

tan(Alpha) = 2.4/3.9

Alpha = arctan(2.4/3.9) = 31.61° 

Die Sonne ist unter einem Höhenwinkel von 31.61° zu sehen. 

Answer 2

Zuerst mal eine Skizze machen.

Dann Höhe und horizontale Entfernung , die gewöhnlich recht orthogonal zueinander stehen, als Katheten eines rechtwinligen Dreiecks betrachten, dessen Hypotenuse durch die Drachenschnur gebildet wird.

Gegenkathete durch Hypotenuse ist der Sinus des Drachenschnurwinkels zur Erdoberfläche.

Comments

Dass der Drachen wegen Durchhängen der Schnur infolge Eigengewicht ein wenig tiefer steht, ist Dir wohl klar.

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So etwas findet im normalen Schulunterricht in der Regel keine Anwendung, da es sich nur um Modelle handelt. Gelegentlich gibt es jedoch die Zusatzfrage, welche Annahmen in dieser Situation getroffen werden müssen, bzw. was es konkret für die Höhe des Drachen bedeutet, wenn die Schnur durchhängt.

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Dass der Drachen wegen Durchhängen der Schnur infolge Eigengewicht ein wenig tiefer steht, ist Dir wohl klar.

Ich denke, das ist verkehrt. Der kleinste Winkel wäre dann der Winkel von 52 Grad am Boden. Zum Drachen hin würde dieser Winkel allerdings zunehmen und dadurch würde dann der Drache effektiv durch das Durchhängen des Seils höher am Himmel stehen.

Das kann man mit einer Kettenlinie oder mit einem Parabelbogen modellieren.

Die eigentliche Berechnung ist für Gymnasiasten aber nicht möglich, weil die nur lernen, dass ein Durchhängen aufgrund des Eigengewichts einer Kettenlinie folgt.

Aber die lernen ja nicht, welche genaue Rolle hier das Gewicht des Seils und die Windstärke spielen.

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Du solltest aber die Höhe des Drachens berechnen können, unter der Annahme, dass die Bogenlänge des Seils 50 m beträgt, der Winkel am Boden mit 52 Grad am kleinsten und mit 57 Grad am Drachen am größten ist.

Verankerung des Seils im Erdboden bei A(0 | 0)
Standort des Drachens am Himmel: B(28.95 | 40.74)

Bogenlänge über das Integral bei 40.99 mit meinen obigen gerundeten Werten

Ich habe A und B, die Kettenlinie und die beiden Tangenten in A und in B eingezeichnet.

Ein Schüler der 10. Klasse könnte aufgefordert werden, das Seil über zwei gerade miteinander verbundene Seilstücke zu modellieren, wobei das erste Teilstück von 25 m mit einer Steigung von 52 Grad bei A beginnt und bei C endet und das zweite Teilstück von 25 m und einem Winkel von 57 Grad bei C beginnt und bei B endet.

Dann steht der Drache näherungsweise im Punkt B(29.01 | 40.67)