Anzahl der Dreiecke bestimmen

Question

Wie viele gleichschenklige Dreiecke XYZ kann man bestimmen?

X (-1/0)

Y (3,0)

Graph a der linearen Funktion z = f(x) = ₅⁴ x    (soll heißen vierfünftel)

der Punkt Z soll so auf dem Graphen a liegen, dass XYZ gleichschenklig ist

Ich habe fünf Punkte gefunden.

1. von Y ausgehend nach oben auf den Grapfen 4 cm (Schnittpunkt ist Z) im positiven Teil des Koordinatensystems

2. von Y ausgehend nach unten auf den Grapfen 4 cm  im negativen Teil des Ks.

3. von X ausgehend nach oben auf den Grapfen 4 cm im positiven Teil

4. von X ausgehend nach unten auf den Grapfen 4 cm im negativen Teil

5. die Strecke XY ist Basis, eine Senkrechte in der Mitte (2cm) nach oben im positiven Bereich des Ks auf den Grapfen ergibt Z

Was sagt Ihr?

Answer 1

Ich habe starke Zweifel. Die Forderung war ja: Z liegt auf a. Schreib doch mal die von Dir gefundenen Punkte Z mit ihren Koordinaten auf und prüfe, ob sie die Funktionsgleichung von a erfüllen. Zumindest die ersten beiden Zs liegen wohl nicht auf a.

Wie bist Du denn überhaupt vorgegangen? Es ist nicht sehr schwierig, die Zs rechnerisch zu ermitteln, wenn man ausnutzt, auf welchen Graphen außer a sie sonst noch liegen müssen.

Comments

Ich habe für

1. Z ist ungefähr (4,6/3,7)

2. Z ist ungefähr (-0,95/-0,75)

Welche anderen Graphen außer a meinst du?

Ich habe die Punkte alle nur zeichnerisch ermittelt.

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Du schreibst:

1. von Y(3 | 0) ausgehend nach oben auf den Graphen 4 cm (Schnittpunkt ist Z) im positiven Teil des Koordinatensystems.

Das wäre dann doch Z(3 | 4) und das liegt nicht auf a.

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Ich habe in meiner linearen Funktion einen Fehler.

Es muss heißen: y = f(x) = vierfünftel x

Ich meine mit: nach oben auf den Graphen 4 cm : einen Kreis ziehen um Y ziehen und da wo er den Graphen trifft liegt Z

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Das(!) schriebst Du aber nicht, wie soll man denn darauf kommen? Immerhin hast Du recht damit, die beiden Kreise mit Radius 4cm (das meinte ich unter anderem mit den "anderen Graphen") mit dem graphen von a zu schneiden. Eine weitere Möglichkeit wäre (ist Dir wahrscheinlich auch klar), die Mittelsenkrechte von X und Y mit a zu schneiden. All dies kann man zeichnerisch und rechnerisch machen.

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Das mit der Mittelsenkrechten meinte ich mit 5.

Meinst du denn auch, dass es genau 5 Möglichkeiten gibt?

2 mal von X ausgehend

2 mal von Y ausgehend

und 1 mal die Mittelsenkrechte von X und Y

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Wie kann man das alles rechnerisch ermitteln? Meine Koordinaten für Z sind nämlich ungerade und deshalb bin ich sehr unsicher, ob das alles so richtig ist.

Was sagst du?

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Die Mittelsenkrechte liefert genau einen Schnittpunkt mit a. Bei den Kreisen kann es jeweils keinen, einen oder zwei Schnittpunkte mit a geben. Wenn Du jeweils zwei Schnittpunkte der Kreise mit a hast, dann sind es fünf Zs.

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Also sind 5 Zs die einzig richtige Lösung?

Wie kann ich die Z-Punkte rechnerisch ermitteln? oder geht das nicht?

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Es ist X(-1 | 0), Y(3 | 0).

Z(x | 0.8*x) soll so beschaffen sein, dass das Dreieck XYZ gleichschenklig ist.

Es gibt drei Möglichkeiten:

(1) Z liegt auf der Mittesenkrechten von X und Y: Diese hat die Gleichung x=1, und es ist Z(1 | 0.8).

(2) Z liegt auf dem Kreis um X(-1 | 0) mit Radius 4: Dieser hat die Gleichung (x+1)² + y² = 4².  Wird die Gleichung y=0.8*x quadriert, ergibt sich y²=0.64*x², was in die Kreisgleichung eingesetzt werden kann. Die entstehende quadratische Gleichung ergibt ggf. bis zu zwei Lösungen für x.

(3) Z liegt auf dem Kreis um Y(3 | 0) mit Radius 4: Dies geht ähnlich wie unter (2).

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Meine Gehirnzellen glühen.

(1) habe ich auch sofort heraus

aber:

(2) und (3) kann ich nicht ermitteln

zeichnerisch habe ich bei (2)    Z (4,6/3,7) und (-0,95/-0,95) heraus

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Da ja offenbar nur nach der Anzahl der Dreiecke gefragt wird, müssen die Zs ja nicht unbedingt ausgerechnet werden. Es genügt, zu zeigen, dass die Punkte X und Y weniger als 4 cm von a entfernt sind. Das würde deutlich weniger Arbeit machen...