Wie berechne ich diese Anzahl?

Question

Ich habe eine Frage zur Stochastik, und zwar verstehe ich nicht, wann man davon spricht, dass man die Reihenfolge beachtet oder man beachtet die Reihenfolge nicht.

Mich interessiert z.B. wie viele Möglichkeiten es gibt, dass bei 6 maligen würfeln eines fairen Würfels gleich viele gerade wie ungerade Augenzahlen falle. Wie berechne ich diese Anzahl?

Nach meiner Auffassung wäre dies ja, bezogen auf das Urnenmodell, zurücklegen der Kugeln ( da ich den Würfel ja immer wieder würfeln kann) und Beachtung der Reihenfolge (da 1,1,1,2,2,2 ja eine andere Kombination ist als 1,2,1,2,1,2) oder nicht?

Answer 1

(6über3)*(3über3) = 20

oder:

6!(3!*3!) = 20 , Permutation mit Wiederholung

Comments

Das ist falsch, weil du bei 6 verschiedenen Zahlen weitaus mehr Möglichkeiten hast. Das wäre eher das Beispiel, wenn man nur zwischen Kopf und Zahl bei einem Münzwurf unterscheidet.

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Stimmt, ich bin zu kurz gesprungen.

Ich lasse es stehen, damit den comment Sinn macht und zum Nachdenken anregt.

Answer 2

Hallo

auf die Reihenfolge müsstest du achten, wenn du ALLE möglichen Kombinationen vin gu aufzählen würdest, aber ee ist ja einfache die Würfe durchzugehen 1, W  p(g)=p(u)=1/2 2. Wurf dasselbe

also gg gu und ug haben alle die Wk 1/4

da du nur 2 Ausgänge hast kannst du den Würfel durch eine Münze ersetzen K0g Zahl=u kannst du es damit?

lul

Comments

Nur geht es hier nicht um Wahrscheinlichkeiten, sondern um die Anzahl der Möglichkeiten. Und da kannst du den Würfel eben nicht durch eine Münze ersetzen, da 1, 1, 1, 2, 2, 2 eine andere Möglichkeit ist als 1, 1, 1, 4, 4, 4.

Answer 3

Die Reihenfolge spielt immer dann eine Rolle, wenn ein Ergebnis in einer anderen Reihenfolge auch wirklich eine andere Möglichkeit darstellt. Es wird gerne damit verwechselt, dass es auf die Reihenfolge ankommt, wie man würfelt oder das Experiment durchführt. Das ist damit aber nicht gemeint.

Beim Lotto ist die Ziehung der Zahlen 1, 2, 3, 4, 10, 20 in dieser Reihenfolge dieselbe Ziehung wie die Zahlen 20, 10, 1, 2, 3, 4. Beide Ziehungen bilden trotz unterschiedlicher Reihenfolge die gleiche Möglichkeit. Deswegen ist die Reihenfolge ohne Bedeutung.

Beim Pferderennen ist die Reihenfolge der Pferde mit den Starnummern 1, 2, 3, 4, 5 aber eine andere Möglichkeit, wie die Pferde durchs Ziel laufen können als bei der Möglichkeit 5, 1, 2, 3, 4. Hier spielt die Reihenfolge eine Rolle.

In deinem Beispiel sollen die geraden und ungeraden Zahlen gleich sein. Da du hier die Anzahl aller Kombinationen suchst, spielt die Reihenfolge eine Rolle, denn wie du schon begründet hast, ist die Kombination 1, 1, 1, 2, 2, 2 eine andere als die Kombination 1, 2, 1, 2, 1, 2, weshalb beide gezählt werden müssen.

Answer 4

Ich ergänze noch diese Antwort, um deine konkrete Frage zur Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten zu beantworten.

Zunächst ist deine Auffassung bzgl. der Reihenfolge in deinem Urnenmodell korrekt.

Hier nun eine mögliche Berechnung:

Wähle 3 von 6 Plätzen, auf denen gerade Zahlen sollen: \(\color{blue}\binom 63\)

Fülle diese 3 Plätze mit beliebigen geraden Zahlen aus 2,4,6: \(\color{blue}3^3\)

Fülle die restlichen 3 Plätze mit beliebigen ungeraden Zahlen aus 1,3,5: \(\color{blue}3^3\)

Anzahl der Möglichkeiten: \(\color{blue}\binom 63 \cdot 3^3 \cdot 3^3 =14580 \)

Hier ist noch eine kleine Verifikation mit Mathematica: