Bruchterm, Ableitung, Binomische Formel

Question

Ich bin mir nicht sicher, ob ich folgende Aufgabe richtig gerechnet habe.

Aufgabestellung: 

Ableitung bestimmen für:

√(x^2-a^2)/(a^2+x^2)

Unter der Wurzel im Zeller ist die dritte binomische Formel, die ich zerlege:

√(x-a)(x+a) /( x^2+a^2)

Dann kürze ich den Ausdruck (x+a) mit dem Nenner und es ergibt:

√ (x-a) / ( x+a)

Ist das so korrekt?

danke

Comments

Hi, ich weiß zwar nicht, was ein "Zeller" ist, aber ich weiß, dass Dein Kürzungsvorgang falsch ist. Du darfst hier nicht kürzen, da der Nenner eine Summe ist. Desweiteren lässt sich der Nenner auch nicht faktorisieren, so dass Kürzen hier wohl geberell ausfällt. Steht der nenner eigentlich auch unter der Wurzel?

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$$  \textrm{Ist nun}\\\ \\\textrm{(1)} \quad \sqrt{\frac {x^2-a^2} {a^2+x^2}}\quad  \textrm{oder} \quad \textrm{(2)}\quad \frac {\sqrt{x^2-a^2}} {a^2+x^2} \\\ \\ \textrm{gemeint?}$$

Answer 1

Nein. Denn 

(x + a) * (x + a) ist nicht gleich x^2 + a^2 obwohl das viele gerne so hätten.

Comments

Ich hätte hier vermutlich einfach die Wurzel aufgeteilt

f(x) = √((x^2 - a^2)/(a^2 + x^2))

f(x) = √(x^2 - a^2) / √(a^2 + x^2)

und jetzt die Quotientenregel angewendet

f'(x) = 2·a^2·x/(√(x^2 + a^2)·√(x^2 - a^2)·(a^2 + x^2)))

Answer 2

√(x²-a²)/(a²+x²)

Unter der Wurzel im Zeller ist die dritte binomische Formel, die ich zerlege:
√(x-a)(x+a) /( x²+a²)
Stimmt noch
Aber im Nenner steht ( x^2 + a^2 ) welcher du in ( x + a ) *( x + a )
aufgeteilt hast. Das ist nicht richtig

Du willst ableiten
√ [ (x²-a²) / (a²+x²) ]
( √ term ) ´=  ( term ´ ) / ( 2 * √ term )
term = ( x²- a² ) / ( a²+x² )
Ableitung mit Quotientenregel
[ 2*x * ( a^2 + x^2 ) - ( x^2 - a^2 ) * 2*x ] / [ ( a^2 + x^2 ) ]^2
[ 2 * x + ( a^2 + x^2 - x^2 + a^2 ) ] / [ ( a^2 + x^2 ) ]^2
[ 2 * x * ( 2 * a^2 ) ] / ( a^2 + x^2 )^2
( 4 * a^2 * x ) /  ( a^2 + x^2 )^2

( √ [ (x²-a²) / (a²+x²) ] ) ´ =
[ ( 4 * a^2 * x ) / ( a^2 + x^2 )^2 ]  /  [ 2 * √ [ (x²-a²) / (a²+x²) ] ]

Man kann noch ein bißchen optimieren.