(an-bn)/(a-b) berechnen für n ∈ ℕ.

Question

EDIT (lLu) Gemäss Kommentar: Gemeint war:

Wie kann ich

(aⁿ-bⁿ)/(a-b) berechnen für n ∈ ℕ?

Comments

Schon mal in Erwägung gezogen, die VOLLSTÄNDIGE AUFGABENSTELLUNG mitzuteilen?

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aⁿ-bⁿ/a-b (minus war falsch) Das ist die vollständige Aufgabe

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Ok, dann stelle ein Foto ein!

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Hier das Foto

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Hi, das ist doch etwas ganz anderes als vorher: nicht n soll berechnet werden, sondern der angegebene Term! Erledigen kannst Du die Aufgabe durch eine Polynimdivision. Ist Dir das für beliebiges n zu kompliziert, versuche es mal mit einigen komkreten kleinen n, etwa n=1, n= 2, n= 4, ...

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danke für die schnelle Antwort. Die Polynomdivision kenne ich, aber ich verstehe nicht wie ich sie in diesem beispiel anwenden soll

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Einfach herunterrechnen und gucken, was rauskommt.

Answer 1

(aⁿ-bⁿ)/(a-b) berechnen für n ∈ ℕ.

n=1

(a-b)/(a-b) = 1         | Hier kannst du nicht kürzen.

n=2

(a² - b²)/(a-b) = a+b

n=3

(a³  - b³) : (a-b) = a² + ab + b^2

-(a³ - a² b)

------------------

a² b

-(a² b - ab²)

-------------------

ab²

-(ab² - b³)

---------------------

0

usw. z.B. damit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28a%5E4+-+b%5E4%29%2F%28a-b%2… Drücke bei "alternate forms" auf "more forms".

Allgemein:

(aⁿ-bⁿ)/(a-b) = a^n-1 + a^n-2 b + a^n-3 b² +..... + b^n-1

Grobe Kontrolle

(a^n-1 + a^n-2 b + a^n-3 b² +..... + b^n-1)*(a-b) =

aⁿ + a^n-1 b + a^n-2 b² -+..... + ab^n-1

-(           a^n-1 b + a^n-2 b² + a^n-3 b³ + .....  +bⁿ)

--------------------------------------------------------------------------------------------

= aⁿ - bⁿ

Besser wäre für die Verallgemeinerung ein Induktionsbeweis.