Nullstellen bestimmen; Berechnung Breakeven 1, 2 und 3.

Question

Folgende Aufgabe:

Wo liegt die Breakeven Gewinnschwelle? (x1 = -5 sei eine bekannte Nullstelle). Markieren Sie die betriebswirtschaftlich sinnvolle Lösung.

Gegeben:

K(x)= x^3-27x^2+139x+675

E(x)= 124x-8x^2

G(x)= -x^3+19x^2-15x-675

Answer 1

G ( x ) = -x³ + 19x² -15x - 675

Dies ist die Gewinnfunktion : E ( x ) - K ( x )
Mathematisch eine Funktion 3.Grades.
Nullstellen
-x³ + 19x² -15x - 675 = 0
Diese lassen sich z.B. mit dem Newton-Verfahren ermitteln.
Dir ist aber 1 Nullpunkt gegeben. x1 = -5
Dann machen wir eine Polynomdivision.
( -x³ + 19x² -15x - 675 ) : ( x + 5 ) = -x^2 + 24x - 135

Wir haben also umgeformt
-x³ + 19x² -15x - 675 = 0  zu
( -x^2 + 24x - 135 ) * ( x + 5 ) = 0
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens 1 der Faktoren 0 ist
( -x^2 + 24x - 135 ) = 0
x = 9
x = 15
( x - 9 ) * ( x - 15 ) * ( x + 5 ) = 0
Breakeven 1,2,3 sind
x = -5
x = 9
x = 15

Wie sieht der Gewinn zwischen den Nullpunkten aus ?
G ( x) =  -x³+19x²-15x-675
G ( 2 ) = -2³+19*2²-15*2-675  = -637
G ( 12 ) = -12³+19*12²-15*12-675  = 153

Zwischen 9 und 12 ist der Gewinn im positiven Bereich.

Man kann auch noch die Differntialrechnung anwenden
und die Stelle des max.Gewinns zu berechnen.

Bin bei Bedarf gern weiter behilflich.

mfg Georg

Comments

Vielen Dank schon einmal. Für mich soweit nachvollziehbar. Allerdings fehlt mir der Schritt, wie ich von

( -x² + 24x - 135 ) = 0 

auf

x = 9 

x = 15 
( x - 9 ) * ( x - 15 ) * ( x + 5 ) = 0  komme.

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( -x² + 24x - 135 ) = 0  | Lösung mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel
 -x² + 24x - 135  = 0  | * (-1)
x² - 24x + 135  = 0 
x^2 - 24 x + 12^2 = -135 + 144
( x - 12 )^2 = 9
x - 12 = ±√9
x - 12 = ± 3
x = 15
x = 9

x = 15 ist eine Nullstelle
x = 9 ist eine Nullstelle
( x ... ) * ( x .. ) = 0
( 15 - 15 ) * ( 9 - 9 ) = 0
( x -15 ) * ( x - 9 ) = 0
Zusammen mit der ersten Nullstelle x1 = -5 ergibt sich
( x -15 ) * ( x - 9 ) * ( x + 5 ) = 0

Answer 2

Es ist dann wohl günstig, die Gewinnfunktion zu betrachten, oder was meinst Du ?

Am Gleichbruchpunkt ist der Gewinn Null muss man noch wissen und den Hinweis der Aufgabe lesen.