Geben Sie für x ∈ [0,∞) die Lösungen der folgenden Gleichung an

Question

Mein Problem: Geben Sie für  x ∈ [0,∞) die Lösungen der folgenden Gleichung an:

(log x-1) (e^x-2) (1/x - 3) = 0.   
Wer kann mir eine Lösung erklären?

Comments

Zitat:
"...für  x ∈ [0,∞)
die Lösungen der Gleichung
(log x-1) (e^x-2) (1/x - 3) = 0."

So, wie sie da steht, ist die Gleichung für x = 0 gar nicht definiert.
Das lässt sich durch Setzen eventuell fehlender Klammern auch nicht beheben.

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@ hh182
"...für  x ∈ [0,∞)
ist das nicht dasselbe wie
D = [ 0 ; ∞ [

Answer 1

Hi,

schaue Dir dies faktorweise an ;).

log(x-1) = 0     

x = 2                        , denn dann ist der Numerus 1 und log(1) = 0

e^x - 2 = 0

e^x = 2

x = ln(2)    (Diese Lösung entfällt, da sie nicht definiert ist. Siehe log(x-1) ...)

1/x - 3 = 0        |+3

1/x = 3             |Kehrwert

x = 1/3

Grüße

Comments

Vielen Dank für die Antwort :)

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Gerne ;)    .

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Fehlerhinweis

e^x - 2 = 0
e^x = 2
x = ln(2)    (Diese Lösung entfällt, da sie nicht definiert ist. Siehe log(x-1) ...)

x = 0.69
müßte doch im Def-Bereich 0..unendlich liegen ?

Nachfrage : was bedeutet eigentlich die runde Klammer bei
[ 0 , unendlich )
dasselbe wie
[ 0 ; unendlich [

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Das ist kein Fehler, sondern Deine Pflicht die x = ln(2) auszuheben. Setze mal x = ln(2) in obiges ein. Du wirst sehen, dass Dir der Logarithmus Probleme bereitet ;). Die gegebene Grundmenge muss durch eine sinnvolle Definitionsmenge ergänzt/beschränkt werden ;).

Nachfrage : was bedeutet eigentlich die runde Klammer bei
[ 0 , unendlich )
dasselbe wie
[ 0 ; unendlich [

Ja, das ist korrekt ;). Beides übliche Schreibweisen.

Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_%28Mathematik%29#Bezeichnungs-_und_Schreibweisen

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Der Fragesteller gab als ersten Faktor an
(log x-1)
dies lese ich als (log(x) -1)

bei dir heißt es

log(x-1)

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Ja, das ist auch meiner Antwort zu entnehmen.

Zumal das mir relativ eindeutig schien, da er auch Leerzeichen bei 1/x - 3. Hätte er Deiniges gemeint, so hatte ich vermutet, dass es dann log x - 1 geheißen hätte ;).

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(log x-1) (e^x-2) (1/x - 3) = 0

Besser eine Klammer zuviel als zu wenig.
Ich lese oben

[ log(x) -1 ] * [ (e^x) - 2 ] *  [ (1/x) - 3 ] = 0

Wir brauchen die Sache aber nicht mehr weiter auswalzen.

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Es steht außer Frage, dass eine Klammer zu viel vorzuziehen ist.

Ich wollte auch nur ausdrücken, dass zu meiner Interpretation meine Antwort auch völlig in Ordnung war. Dass Du was anderes gelesen hast, hast Du schon mehrfach zum Ausdruck gebracht und wurde vermerkt. Ich sehe das dennoch weiterhin anders. Die Deinige Interpretation wurde ja aber mittlerweile auch beantwortet.

Answer 2

Satz vom Nullprodukt anwenden: Ein Faktor muss Null sein, um das Produkt zu Null zu machen:

logx-1 = 0
logx = 1
x = e^1 = e

e^x-2 =0
e^x = 2
x = ln 2

1/x-3 = 0
1/x = 3
x = 1/3

L = {e;ln2;1/3}

Comments

Nachfrage : Unterschied ln und log

Du verwendest in deiner Antwort ln und log
gleich.

Diskussionen darüber hatten wir hier schon öfters.

Auf Taschenrechnern heutzutage und damals in der Schule
stand " log " für den Zehner-Logarithmus.

Also wäre eine Interpretation des Zehner-Logarithmus für den
ersten Faktor auch möglcih ?