Es sei \( \boldsymbol{u} \neq \boldsymbol{o} \) ein fest gewähiter Vektor aus \( V=\mathbb{R}^{n} \) und
\( W=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: \boldsymbol{u}^{\top} \boldsymbol{x}=0\right\} \)
eine Teilmenge von \( \mathbb{R}^{n} \).
(a) Zeigen Sie, dass \( W \) ein Untervektorraum von \( \mathbb{R}^{n} \) ist.
(b) Zeigen Sie, dass \( \operatorname{dim}(W)=n-1 \)
(c) Es sei \( \boldsymbol{w} \in W \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \) mit \( \boldsymbol{w}+\lambda \boldsymbol{u}=\boldsymbol{o} \). Zeigen Sie: Dann gilt \( \boldsymbol{w}=\boldsymbol{o} \) und \( \lambda=0 \).
Hinweis: Betrachten Sie \( \boldsymbol{u}^{\top}(\boldsymbol{w}+\lambda \boldsymbol{u}) \)
(d) Es sei \( \left\{\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots \boldsymbol{w}_{n-1}\right\} \) eine Basis von \( W . \) Zeigen Sie, dass \( \left\{\boldsymbol{w}_{1}, \boldsymbol{w}_{2}, \ldots \boldsymbol{w}_{n-1}, \boldsymbol{u}\right\} \) eine Basis von \( V \) ist.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass \( \lambda_{1} \boldsymbol{w}_{1}+\lambda_{2} \boldsymbol{w}_{2}+\cdots+\lambda_{n-1} \boldsymbol{w}_{n-1}+c \boldsymbol{u}=\boldsymbol{o} \) ist. Setzen Sie \( \boldsymbol{w}=\lambda_{1} \boldsymbol{w}_{1}+ \)
\( \lambda_{2} \boldsymbol{w}_{2}+\cdots+\lambda_{n-1} \boldsymbol{w}_{n-1} \) und verwenden Sie Teil c)
