Summe(k=1 bis n) (1)/(k(k+1))=1-(1)/(n+1)

Question

Soll ich hier k einfach mit n erstetzen?

Oder umformen

Bei umformen habe ich aber keine ahnung mit was.

Comments

Vollständige Induktion

Edit: Oder siehe unten die m.E. schönere Lösung.

Answer 1

Dies lässt sich zu einer sog. Teleskopsumme umformen:$$\sum_{k=1}^n\frac1{k(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}$$$$=\sum_{k=1}^n\frac1k-\sum_{k=2}^{n+1}\frac1k=\left(1+\sum_{k+2}^n\frac1k\right)-\left(\sum_{k+2}^n\frac1k+\frac1{n+1}\right)$$$$=1-\frac1{n+1}.$$

Comments

Danke

8ch verstehe aber nicht wieso du so umformen kannst.

1/k-1/k+1

Wie kann man so 7nformen?

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$$\frac1k-\frac1{k+1}=\frac{1\cdot(k+1)}{k\cdot(k+1)}-\frac{1\cdot k}{(k+1)\cdot k}=\frac{k+1-k}{k\cdot(k+1)}=\frac1{k\cdot(k+1)}.$$

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Das dritte auch hinbekommen.

Aber von alleine wäre echt nicht darauf gekommen

Soweit ich verstanden habe

Bild mit ?! Versehen.