Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 5 gilt 3^n > 7n^2.

Question

Folgende Aussage soll Bewiesen werden:

Für alle natürlichen Zahlen  n ≥ 5 gilt  3ⁿ > 7n².

Answer 1

machs zum Beispiel per Induktion:

IA: n = 5 stimmt

IS: unsere IV ist, dass 3^n > 7n²

Dann

7(n+1)² = 7n² + 2*7n + 7*1 < 7n² + 7n² + 7n² = 3*7n² < 3*3^n = 3^{n+1}

Da n ≥ 5 ist insbesondere

2*7n < n*7n = 7n^2, weil n > 2

7*1 < 7n² weil n > 1.

Gruß